Clasificación del espacio para U(n)
En matemáticas , el espacio de clasificación para el grupo unitario U( n ) es un espacio BU( n ) junto con un paquete universal EU( n ) tal que cualquier paquete hermitiano en un espacio paracompacto X es el retroceso de EU( n ) por una función X → BU( n ) única hasta la homotopía.
Aquí, H denota un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita, los e i son vectores en H y es el delta de Kronecker . El símbolo es el producto interior en H . Así, tenemos que EU( n ) es el espacio de n -frames ortonormales en H .
Para n = 1, se tiene EU(1) = S ∞ , que se sabe que es un espacio contráctil . El espacio base es entonces BU(1) = CP ∞ , el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita . Por lo tanto, el conjunto de clases de isomorfismo de haces circulares sobre una variedad M están en correspondencia uno a uno con las clases de homotopía de los mapas de M a CP ∞ .
es decir, BU(1) es el grupo unitario proyectivo de dimensión infinita . Vea ese artículo para una discusión adicional y propiedades.
Para un toro T , que es abstractamente isomorfo a U(1) × ... × U(1), pero no necesita tener una identificación elegida, uno escribe B T .
Sea F n ( C k ) el espacio de familias ortonormales de n vectores en C k y sea G n ( C k ) el Grassmanniano de n -espacios subvectoriales dimensionales de C k . El espacio total del paquete universal puede tomarse como el límite directo de F n ( C k ) cuando k → ∞, mientras que el espacio base es el límite directo de G n ( C k ) cuando k → ∞.