En álgebra lineal , dos vectores en un espacio de producto interno son ortonormales si son vectores unitarios ortogonales (o perpendiculares a lo largo de una línea) . Un conjunto de vectores forma un conjunto ortonormal si todos los vectores del conjunto son mutuamente ortogonales y todos tienen una longitud unitaria. Un conjunto ortonormal que forma una base se denomina base ortonormal .
Visión general intuitiva
La construcción de la ortogonalidad de vectores está motivada por el deseo de extender la noción intuitiva de vectores perpendiculares a espacios de dimensiones superiores. En el plano cartesiano , se dice que dos vectores son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90 ° (es decir, si forman un ángulo recto ). Esta definición se puede formalizar en el espacio cartesiano definiendo el producto escalar y especificando que dos vectores en el plano son ortogonales si su producto escalar es cero.
De manera similar, la construcción de la norma de un vector está motivada por el deseo de extender la noción intuitiva de la longitud de un vector a espacios de dimensiones superiores. En el espacio cartesiano, la norma de un vector es la raíz cuadrada del vector punteado con él mismo. Es decir,
Muchos resultados importantes en álgebra lineal tratan con colecciones de dos o más vectores ortogonales. Pero a menudo es más fácil tratar con vectores de longitud unitaria . Es decir, a menudo simplifica las cosas al considerar solo vectores cuya norma es igual a 1. La noción de restringir pares ortogonales de vectores a solo aquellos de longitud unitaria es lo suficientemente importante como para recibir un nombre especial. Se dice que dos vectores ortogonales y de longitud 1 son ortonormales .
Ejemplo simple
¿Cómo se ven un par de vectores ortonormales en el espacio euclidiano 2-D?
Sea u = (x 1 , y 1 ) y v = (x 2 , y 2 ). Tenga en cuenta las restricciones en x 1 , x 2 , y 1 , y 2 requieren para hacer u y v formar un par ortonormal.
- De la restricción de ortogonalidad, u • v = 0.
- De la restricción de longitud unitaria en u , || u || = 1.
- De la restricción de longitud unitaria en v , || v || = 1.
Expandir estos términos da 3 ecuaciones:
Conversión de coordenadas cartesianas a polares y consideración de la ecuación y ecuación inmediatamente da el resultado r 1 = r 2 = 1. En otras palabras, requerir que los vectores sean de longitud unitaria restringe que los vectores se encuentren en el círculo unitario .
Después de la sustitución, Ecuación se convierte en . Reorganizar da. El uso de una identidad trigonométrica para convertir el término cotangente da
Está claro que en el plano, los vectores ortonormales son simplemente radios del círculo unitario cuya diferencia en ángulos es igual a 90 °.
Definición
Dejar ser un espacio de producto interior . Un conjunto de vectores
se llama ortonormal si y solo si
dónde es el delta de Kronecker yes el producto interno definido sobre.
Significado
Los conjuntos ortonormales no son especialmente significativos por sí mismos. Sin embargo, muestran ciertas características que los hacen fundamentales para explorar la noción de diagonalizabilidad de ciertos operadores en espacios vectoriales.
Propiedades
Los conjuntos ortonormales tienen ciertas propiedades muy atractivas, que los hacen particularmente fáciles de trabajar.
- Teorema . Si { e 1 , e 2 , ..., e n } es una lista ortonormal de vectores, entonces
- Teorema . Toda lista ortonormal de vectores es linealmente independiente .
Existencia
- Teorema de Gram-Schmidt . Si { v 1 , v 2 , ..., v n } es una lista linealmente independiente de vectores en un espacio de producto interno, entonces existe una lista ortonormal { e 1 , e 2 , ..., e n } de vectores ental que span ( e 1 , e 2 , ..., e n ) = span ( v 1 , v 2 , ..., v n ).
La prueba del teorema de Gram-Schmidt es constructiva y se analiza en profundidad en otra parte. El teorema de Gram-Schmidt, junto con el axioma de elección , garantiza que todo espacio vectorial admite una base ortonormal. Este es posiblemente el uso más significativo de la ortonormalidad, ya que este hecho permite discutir a los operadores en los espacios de productos internos en términos de su acción sobre los vectores de base ortonormales del espacio. El resultado es una relación profunda entre la diagonalizabilidad de un operador y cómo actúa sobre los vectores base ortonormales. Esta relación se caracteriza por el Teorema espectral .
Ejemplos de
Base estándar
La base estándar para el espacio de coordenadas F n es
{ e 1 , e 2 , ..., e n } donde e 1 = (1, 0, ..., 0) e 2 = (0, 1, ..., 0) e n = (0, 0, ..., 1)
Dos vectores cualesquiera e i , e j donde i ≠ j son ortogonales, y todos los vectores son claramente de longitud unitaria. Entonces { e 1 , e 2 , ..., e n } forma una base ortonormal.
Funciones de valor real
Cuando se hace referencia a reales -valued funciones , por lo general el L² producto interno se asume menos que se indique lo contrario. Dos funciones y son ortonormales durante el intervalo Si
series de Fourier
La serie de Fourier es un método para expresar una función periódica en términos de funciones de base sinusoidal . Tomando C [−π, π] como el espacio de todas las funciones de valor real continuas en el intervalo [−π, π] y tomando el producto interno como
se puede demostrar que
forma un conjunto ortonormal.
Sin embargo, esto tiene pocas consecuencias, porque C [−π, π] es de dimensión infinita y un conjunto finito de vectores no puede abarcarlo. Pero, eliminar la restricción de que n sea finito hace que el conjunto sea denso en C [−π, π] y, por tanto, una base ortonormal de C [−π, π].
Ver también
Fuentes
- Axler, Sheldon (1997), Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 106–110 , ISBN 978-0-387-98258-8
- Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentos de circuitos y filtros (3ª ed.), Boca Raton : CRC Press , p. 62 , ISBN 978-1-4200-5887-1