En la teoría de conjuntos , el teorema de Easton es un resultado de los posibles números cardinales de conjuntos de potencia . Easton (1970) (extendiendo un resultado de Robert M. Solovay ) mostró mediante el forzamiento que las únicas restricciones sobre los valores permisibles para 2 κ cuando κ es un cardinal regular son
(donde cf ( α ) es la cofinalidad de α ) y
Declaración
Si G es una función de clase cuyo dominio consta de ordinales y cuyo rango consta de ordinales tales que
- G no es decreciente,
- la cofinalidad de es mayor que para cada α en el dominio de G , y
- es regular para cada α en el dominio de G ,
entonces hay un modelo de ZFC tal que
para cada en el dominio de G .
La demostración del teorema de Easton usa forzar con una clase adecuada de condiciones de forzamiento sobre un modelo que satisface la hipótesis del continuo generalizado.
Las dos primeras condiciones del teorema son necesarias. La condición 1 es una propiedad bien conocida de la cardinalidad, mientras que la condición 2 se deriva del teorema de König .
En el modelo de Easton, los conjuntos de potencias de los cardenales singulares tienen la cardinalidad más pequeña posible compatible con las condiciones de que 2 κ tiene una cofinalidad mayor que κ y es una función no decreciente de κ.
Sin extensión a cardenales singulares
Silver (1975) demostró que un cardenal singular de cofinalidad incontable no puede ser el cardenal más pequeño para el que falla la hipótesis del continuo generalizado . Esto muestra que el teorema de Easton no se puede extender a la clase de todos los cardinales. El programa de la teoría PCF da resultados sobre los posibles valores de para cardenales singulares . La teoría PCF muestra que los valores de la función continua en los cardinales singulares están fuertemente influenciados por los valores en los cardinales más pequeños, mientras que el teorema de Easton muestra que los valores de la función continua en los cardinales regulares están solo débilmente influenciados por los valores en los cardinales más pequeños.
Ver también
Referencias
- Easton, W. (1970), "Poderes de los cardenales regulares", Ann. Matemáticas. Lógica , 1 (2): 139–178, doi : 10.1016 / 0003-4843 (70) 90012-4
- Silver, Jack (1975), "Sobre el problema de los cardenales singulares", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974) , 1 , Montreal, Que .: Canad. Matemáticas. Congreso, págs. 265–268, MR 0429564