La teoría de conjuntos descriptiva efectiva es la rama de la teoría de conjuntos descriptiva que se ocupa de conjuntos de reales que tienen definiciones de luz ; es decir, definiciones que no requieren un parámetro real arbitrario (Moschovakis 1980). Por tanto, la teoría de conjuntos descriptiva eficaz combina la teoría de conjuntos descriptiva con la teoría de recursividad .
Construcciones
Espacio polaco efectivo
Un espacio polaco efectivo es un espacio métrico separable completo que tiene una presentación computable . Dichos espacios se estudian tanto en la teoría descriptiva de conjuntos efectiva como en el análisis constructivo . En particular, los ejemplos estándar de espacios polacos como la línea real , el conjunto Cantor y el espacio Baire son todos espacios polacos efectivos.
Jerarquía aritmética
La jerarquía aritmética , la jerarquía aritmética o la jerarquía de Kleene-Mostowski clasifica ciertos conjuntos en función de la complejidad de las fórmulas que los definen. Cualquier conjunto que reciba una clasificación se llama "aritmético".
Más formalmente, la jerarquía aritmética asigna clasificaciones a las fórmulas en el lenguaje de la aritmética de primer orden . Las clasificaciones se indican y para números naturales n (incluido 0). Las letras griegas aquí son símbolos de cara clara , lo que indica que las fórmulas no contienen parámetros establecidos.
Si una formula es lógicamente equivalente a una fórmula con solo cuantificadores acotados, entonces se le asignan las clasificaciones y .
Las clasificaciones y se definen inductivamente para cada número natural n usando las siguientes reglas:
- Si es lógicamente equivalente a una fórmula de la forma , dónde es , luego se le asigna la clasificación .
- Si es lógicamente equivalente a una fórmula de la forma , dónde es , luego se le asigna la clasificación .
Referencias
- Mansfield, Richard; Weitkamp, Galen (1985). Aspectos recursivos de la teoría descriptiva de conjuntos . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 124–38 . ISBN 978-0-19-503602-2. Señor 0786122 .
- Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70199-0. Segunda edición disponible online