El modelo de Ehrenfest (o modelo de perro-pulgas [1] ) de difusión fue propuesto por Tatiana y Paul Ehrenfest para explicar la segunda ley de la termodinámica . El modelo considera partículas N en dos contenedores. Las partículas cambian de recipiente de forma independiente a una tasa λ . Si X ( t ) = i se define como el número de partículas en un contenedor en el momento t , entonces es un proceso de nacimiento-muerte con tasas de transición.
- para i = 1, 2, ..., N
- para i = 0, 1, ..., N - 1
y distribución de equilibrio .
Mark Kac demostró en 1947 que si el estado inicial del sistema no es el equilibrio, entonces la entropía , dada por
es monótonamente creciente ( teorema H ). Esta es una consecuencia de la convergencia a la distribución de equilibrio.
interpretación de resultados
Considere que al principio todas las partículas están en uno de los contenedores. Se espera que con el tiempo el número de partículas en este contenedor se acerquey estabilizarse cerca de ese estado (los contenedores tendrán aproximadamente el mismo número de partículas). Sin embargo, desde el punto de vista matemático, volver al estado inicial es posible (incluso casi seguro). Del teorema de la recurrencia media se deduce que incluso el tiempo esperado para volver al estado inicial es finito, y es. Usando la aproximación de Stirling, se encuentra que si comenzamos en el equilibrio (igual número de partículas en los contenedores), el tiempo esperado para volver al equilibrio es asintóticamente igual a. Si asumimos que las partículas cambian de recipiente a razón de una por segundo, en el caso particular de partículas, comenzando en el equilibrio, se espera que el retorno al equilibrio ocurra en segundos, mientras se inicia en la configuración en uno de los contenedores, en el otro, se espera que el regreso a ese estado tome años. Esto supone que, aunque teóricamente seguro, es poco probable que se observe una recurrencia al estado inicial altamente desproporcionado.
Referencias
- ^ Nauenberg, M. (2004). "La evolución de la radiación hacia el equilibrio térmico: un modelo soluble que ilustra los fundamentos de la mecánica estadística". Revista estadounidense de física . 72 (3): 313–323. arXiv : cond-mat / 0305219 . Código Bibliográfico : 2004AmJPh..72..313N . doi : 10.1119 / 1.1632488 .
- FP Kelly Reversibilidad y redes estocásticas (Wiley, Chichester, 1979) ISBN 0-471-27601-4 [1] págs. 17–20
- "Modelo de difusión Ehrenfest". Encyclopædia Britannica (2008)
- Paul und Tatjana Ehrenfest. Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Teorema. Physikalische Zeitschrift, vol. 8 (1907), págs. 311–314.