Caso Dirichlet
En el caso discreto 1D con condiciones de contorno de Dirichlet, estamos resolviendo
Reorganizando los términos, obtenemos
Ahora deja . Además, asumiendo, podemos escalar los autovectores por cualquier escalar distinto de cero, así que escale así que eso .
Entonces encontramos la recurrencia
Considerando como un indeterminado,
dónde es el k-ésimo polinomio de Chebyshev del segundo tipo.
Desde , lo entendemos
- .
Está claro que los autovalores de nuestro problema serán los ceros del n-ésimo polinomio de Chebyshev del segundo tipo, con la relación .
Estos ceros son bien conocidos y son:
Conectando estos en la fórmula para ,
Y usando una fórmula trigonométrica para simplificar, encontramos
Caso Neumann
En el caso de Neumann, estamos resolviendo
En la discretización estándar, introducimos y y definir
Las condiciones de contorno son entonces equivalentes a
Si hacemos un cambio de variables,
podemos derivar lo siguiente:
con siendo las condiciones de frontera.
Esta es precisamente la fórmula de Dirichlet con puntos de cuadrícula interior y espaciado de cuadrícula . Similar a lo que vimos en lo anterior, asumiendo, obtenemos
Esto nos da valores propios y hay . Si descartamos la suposición de que, encontramos que también hay una solución con y esto corresponde al valor propio .
Al volver a etiquetar los índices en la fórmula anterior y combinarlos con el valor propio cero, obtenemos,
Caso Dirichlet-Neumann
Para el caso de Dirichlet-Neumann, estamos resolviendo
- ,
dónde
Necesitamos introducir variables auxiliares
Considere la recurrencia
- .
Además, sabemos y asumiendo , podemos escalar así que eso
También podemos escribir
Tomando la combinación correcta de estas tres ecuaciones, podemos obtener
Y así nuestra nueva recurrencia resolverá nuestro problema de valores propios cuando
Resolviendo para obtenemos
Nuestra nueva recurrencia da
dónde de nuevo es el k-ésimo polinomio de Chebyshev del segundo tipo.
Y combinando con nuestra condición de frontera de Neumann, tenemos
Una fórmula conocida relaciona los polinomios de Chebyshev del primer tipo,, a los del segundo tipo por
Por lo tanto, nuestros valores propios resuelven
También se sabe que los ceros de este polinomio son
Y por lo tanto
Tenga en cuenta que hay 2n + 1 de estos valores, pero solo los primeros n + 1 son únicos. El valor (n + 1) ésimo nos da el vector cero como un vector propio con valor propio 0, que es trivial. Esto se puede ver volviendo a la recurrencia original. Por tanto, consideramos que sólo el primer n de estos valores son los n valores propios del problema de Dirichlet-Neumann.