En matemáticas, la suma de Kronecker de laplacianos discretos , que lleva el nombre de Leopold Kronecker , es una versión discreta de la separación de variables para el laplaciano continuo en un dominio cuboide rectangular .
Forma general de la suma de Kronecker de laplacianos discretos
En una situación general de separación de variables en el caso discreto, el laplaciano discreto multidimensional es una suma de Kronecker de laplacianos discretos 1D.
Ejemplo: Laplaciano discreto 2D en una cuadrícula regular con la condición de límite de Dirichlet homogénea
Matemáticamente, usando la suma de Kronecker :
dónde y son 1D TON Laplacianos en la x - y Y -INSTRUCCIONES, de manera correspondiente, yson las identidades de tamaños apropiados. Ambas cosas y debe corresponder al caso de la homogénea condición de contorno Dirichlet en los puntos de extremo de la x - y Y -intervalos, con el fin de generar el 2D discretas laplaciana L correspondiente a la homogénea condición de contorno Dirichlet en todas partes en el límite del dominio rectangular.
Aquí hay un código de muestra de OCTAVE / MATLAB para calcular L en la cuadrícula 2D normal de 10 × 15:
nx = 10 ; % número de puntos de la cuadrícula en la dirección x; ny = 15 ; % número de puntos de la cuadrícula en la dirección y; ex = unos ( nx , 1 ); Dxx = spdiags ([ ex - 2 * ex ex ], [ - 1 0 1 ], nx , nx ); % 1D laplaciano discreto en la dirección x; ey = unos ( ny , 1 ); Dyy = spdiags ([ ey , - 2 * ey ey ], [ - 1 0 1 ], ny , ny ); % 1D laplaciano discreto en la dirección y; L = kron ( Dyy , speye ( nx )) + kron ( speye ( ny ), Dxx ) ;
Autovalores y autovectores de laplaciano discreto multidimensional en una cuadrícula regular
Conociendo todos los autovalores y autovectores de los factores, todos los autovalores y autovectores del producto de Kronecker pueden calcularse explícitamente . En base a esto, los autovalores y autovectores de la suma de Kronecker también se pueden calcular explícitamente.
Los autovalores y autovectores de la aproximación de diferencia central estándar de la segunda derivada en un intervalo para combinaciones tradicionales de condiciones de contorno en los puntos finales del intervalo son bien conocidos . Combinando estas expresiones con las fórmulas de autovalores y autovectores para la suma de Kronecker , se puede obtener fácilmente la respuesta requerida.
Ejemplo: Laplaciano discreto 3D en una cuadrícula regular con la condición de límite de Dirichlet homogénea
dónde y son laplacianos discretos 1D en cada una de las 3 direcciones, y son las identidades de tamaños apropiados. Cada laplaciano discreto 1D debe corresponder al caso de la condición de límite de Dirichlet homogéneo , para generar la L laplaciana discreta 3D correspondiente a la condición de límite de Dirichlet homogénea en todas partes del límite. Los valores propios son
dónde , y los vectores propios correspondientes son
donde el multi-índice empareja los valores propios y los vectores propios, mientras que el índice múltiple determina la ubicación del valor de cada vector propio en la cuadrícula regular . Los puntos de límite, donde se imponen las condiciones de límite de Dirichlet homogéneas , están justo fuera de la cuadrícula.
Software disponible
Un código OCTAVE / MATLAB http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27279-laplacian-in-1d-2d-or-3d está disponible bajo una licencia BSD , que calcula la matriz dispersa de 1, 2D, y laplacianos negativos 3D en una cuadrícula rectangular para combinaciones de condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann y periódicas utilizando sumas de Kronecker de laplacianos 1D discretos. El código también proporciona los autovalores y autovectores exactos usando las fórmulas explícitas dadas arriba.