En la teoría de grafos , la centralidad de los vectores propios (también denominada centralidad propia o puntuación de prestigio [1] ) es una medida de la influencia de un nodo en una red . Las puntuaciones relativas se asignan a todos los nodos de la red según el concepto de que las conexiones a los nodos de puntuación alta contribuyen más a la puntuación del nodo en cuestión que las conexiones iguales a los nodos de puntuación baja. Una puntuación alta de vector propio significa que un nodo está conectado a muchos nodos que, a su vez, tienen puntuaciones altas. [2] [3]
El PageRank de Google y la centralidad de Katz son variantes de la centralidad del vector propio. [4]
Usando la matriz de adyacencia para encontrar la centralidad del vector propio
Para un gráfico dado con vértices dejar ser la matriz de adyacencia , es decir si vértice está vinculado al vértice , y de lo contrario. La relativa centralidad,, puntuación de vértice Puede ser definido como:
dónde es un conjunto de los vecinos de y es una constante. Con una pequeña reordenación, esto se puede reescribir en notación vectorial como la ecuación de vector propio
En general, habrá muchos valores propios diferentes para el cual existe una solución de vector propio diferente de cero. Sin embargo, el requisito adicional de que todas las entradas en el vector propio sean no negativas implica (según el teorema de Perron-Frobenius ) que solo el valor propio mayor da como resultado la medida de centralidad deseada. [5] El componente del vector propio relacionado entonces da la puntuación de centralidad relativa del vértice en la red. El vector propio solo se define hasta un factor común, por lo que solo las razones de las centralidades de los vértices están bien definidas. Para definir una puntuación absoluta, se debe normalizar el vector propio, por ejemplo, de modo que la suma de todos los vértices sea 1 o el número total de vértices n . La iteración de potencia es uno de los muchos algoritmos de valor propio que se pueden utilizar para encontrar este vector propio dominante. [4] Además, esto se puede generalizar para que las entradas en A puedan ser números reales que representen la fuerza de la conexión, como en una matriz estocástica .
Puntuación de centralidad de vector propio normalizada
El PageRank de Google se basa en la centralidad del vector propio normalizado, o el prestigio normalizado, combinado con una suposición de salto aleatorio. [1] El PageRank de un nodotiene dependencia recursiva del PageRank de otros nodos que apuntan a él. La matriz de adyacencia normalizada Se define como:
- ,
dónde es el vector de unos, y es la matriz diagonal del vector . es una matriz estocástica de filas.
La puntuación de prestigio del vector propio normalizado se define como:
o en forma de vector,
Aplicaciones
La centralidad del vector propio es una medida de la influencia que tiene un nodo en una red. Si un nodo es señalado por muchos nodos (que también tienen una alta centralidad de vector propio), ese nodo tendrá una alta centralidad de vector propio. [6]
El primer uso de la centralidad de vector propio lo hizo Edmund Landau en un artículo de 1895 sobre la puntuación de torneos de ajedrez. [7] [8]
Más recientemente, investigadores de muchos campos han analizado aplicaciones, manifestaciones y extensiones de la centralidad de los vectores propios en una variedad de dominios:
- La centralidad del vector propio es la medida única que satisface ciertos axiomas naturales para un sistema de clasificación. [9] [10]
- En neurociencia , se ha encontrado que la centralidad del vector propio de una neurona en una red neuronal modelo se correlaciona con su tasa de activación relativa. [6]
- La centralidad del vector propio y los conceptos relacionados se han utilizado para modelar la influencia de la opinión en sociología y economía, como en el modelo de aprendizaje DeGroot .
- La definición de centralidad de vector propio se ha extendido a redes multiplex o multicapa. [11]
- En un estudio que utilizó datos de Filipinas, los investigadores mostraron cómo las familias de los candidatos políticos tenían una centralidad de vector propio desproporcionadamente alta en las redes locales de matrimonios mixtos. [12]
- La centralidad de los vectores propios se ha aplicado ampliamente para estudiar los resultados económicos, incluida la cooperación en las redes sociales. [13] En los problemas de bienes públicos económicos , la centralidad del vector propio de una persona se puede interpretar como cuánto influyen las preferencias de esa persona en un resultado social eficiente. [14]
Ver también
Referencias
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