En mecánica estadística , el modelo de ocho vértices es una generalización de los modelos de tipo hielo (seis vértices) ; Sutherland, [1] y Fan & Wu, [2] lo discutieron y Baxter lo resolvió en el caso de campo cero. [3]
Descripción
Al igual que con los modelos de tipo hielo, el modelo de ocho vértices es un modelo de celosía cuadrada , donde cada estado es una configuración de flechas en un vértice. Los vértices permitidos tienen un número par de flechas apuntando hacia el vértice; estos incluyen los seis heredados del modelo de tipo hielo (1-6) y sumideros y fuentes (7, 8).
Consideramos un celosía, con vértices y bordes. La imposición de condiciones de contorno periódicas requiere que los estados 7 y 8 ocurran con la misma frecuencia, al igual que los estados 5 y 6, y por lo tanto se puede considerar que tienen la misma energía. Para el caso de campo cero, lo mismo es cierto para los otros dos pares de estados. Cada vértice tiene una energía asociada y peso de Boltzmann , dando la función de partición sobre la celosía como
donde la suma cubre todas las configuraciones permitidas de vértices en la red. En esta forma general, la función de partición permanece sin resolver.
Solución en el caso de campo cero
El caso de campo cero del modelo corresponde físicamente a la ausencia de campos eléctricos externos. Por lo tanto, el modelo permanece sin cambios bajo la inversión de todas las flechas; los estados 1 y 2, y 3 y 4, por lo tanto, deben ocurrir como pares. A los vértices se les pueden asignar pesos arbitrarios
La solución se basa en la observación de que las filas de las matrices de transferencia se conmutan, para una cierta parametrización de estos cuatro pesos de Boltzmann. Esto surgió como una modificación de una solución alternativa para el modelo de seis vértices ; hace uso de funciones theta elípticas .
Matrices de transferencia de conmutación
La prueba se basa en el hecho de que cuando y , por cantidades
las matrices de transferencia y (asociado con los pesos , , , y , , , ) viajar diariamente. Usando la relación estrella-triángulo , Baxter reformuló esta condición como equivalente a una parametrización de los pesos dados como
para módulo fijo y y variable . Aquí snh es el análogo hiperbólico de sn, dado por
y y son funciones elípticas de módulo de Jacobi. La matriz de transferencia asociada así es una función de solo; para todos,
La función matricial
La otra parte crucial de la solución es la existencia de una función matricial no singular , tal que para todo complejo las matrices conmutar entre sí y las matrices de transferencia, y satisfacer
( 1 )
dónde
La existencia y las relaciones de conmutación de dicha función se demuestran considerando las propagaciones de pares a través de un vértice y las relaciones de periodicidad de las funciones theta, de manera similar al modelo de seis vértices.
Solución explícita
La conmutación de matrices en ( 1 ) permite diagonalizarlas , y así se pueden encontrar autovalores . La función de partición se calcula a partir del valor propio máximo, lo que da como resultado una energía libre por sitio de
por
dónde y son las integrales elípticas completas de módulos y . El modelo de ocho vértices también se resolvió en cuasicristales .
Equivalencia con un modelo de Ising
Existe una correspondencia natural entre el modelo de ocho vértices y el modelo de Ising con interacciones vecinas más cercanas de 2 y 4 espines. Los estados de este modelo son girosen las caras de una celosía cuadrada. El análogo de 'aristas' en el modelo de ocho vértices son productos de giros en caras adyacentes:
La forma más general de energía para este modelo es
dónde , , , describir las interacciones de 2 espines horizontal, vertical y dos diagonales, y describe la interacción de 4 espines entre cuatro caras en un vértice; la suma está sobre todo el enrejado.
Denotamos giros horizontales y verticales (flechas en los bordes) en el modelo de ocho vértices , respectivamente, y definen hacia arriba y hacia la derecha como direcciones positivas. La restricción de los estados de vértice es que el producto de cuatro aristas en un vértice es 1; esto se aplica automáticamente a los 'bordes' de Ising. Cada la configuración corresponde entonces a un único , configuración, mientras que cada , La configuración ofrece dos opciones de configuraciones.
Igualar formas generales de pesos de Boltzmann para cada vértice , las siguientes relaciones entre el y , , , , definir la correspondencia entre los modelos de celosía:
De ello se deduce que en el caso de campo cero del modelo de ocho vértices, las interacciones horizontal y vertical en el modelo de Ising correspondiente desaparecen.
Estas relaciones dan la equivalencia entre las funciones de partición del modelo de ocho vértices y el modelo de Ising de 2,4 espines. En consecuencia, una solución en cualquiera de los modelos conduciría inmediatamente a una solución en el otro.
Ver también
Notas
- ^ Sutherland, Bill (1970). "Cristales unidos por hidrógeno bidimensional sin la regla del hielo". Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 11 (11): 3183–3186. Código Bibliográfico : 1970JMP .... 11.3183S . doi : 10.1063 / 1.1665111 . ISSN 0022-2488 .
- ^ Fan, Chungpeng; Wu, año fiscal (1 de agosto de 1970). "Modelo de celosía general de transiciones de fase". Physical Review B . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 2 (3): 723–733. Código Bibliográfico : 1970PhRvB ... 2..723F . doi : 10.1103 / physrevb.2.723 . ISSN 0556-2805 .
- ^ Baxter, RJ (5 de abril de 1971). "Modelo de ocho vértices en estadísticas de celosía". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 26 (14): 832–833. Código Bibliográfico : 1971PhRvL..26..832B . doi : 10.1103 / physrevlett.26.832 . ISSN 0031-9007 .
Referencias
- Baxter, Rodney J. (1982), Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística (PDF) , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578