El modelo de Ising ( / aɪ s ɪ ŋ / ; alemán: [iːzɪŋ] ), el nombre del físico Ernst Ising , es un modelo matemático de ferromagnetismo en la mecánica estadística . El modelo consta de variables discretas que representan momentos dipolares magnéticos de "espines" atómicos que pueden estar en uno de dos estados (+1 o -1). Los giros se organizan en un gráfico, generalmente una celosía.(donde la estructura local se repite periódicamente en todas las direcciones), lo que permite que cada giro interactúe con sus vecinos. Los giros vecinos que están de acuerdo tienen una energía más baja que los que no están de acuerdo; el sistema tiende a la energía más baja pero el calor perturba esta tendencia, creando así la posibilidad de diferentes fases estructurales. El modelo permite la identificación de transiciones de fase , como un modelo simplificado de la realidad. El modelo de Ising de red cuadrada bidimensional es uno de los modelos estadísticos más simples para mostrar una transición de fase . [1]
El modelo de Ising fue inventado por el físico Wilhelm Lenz ( 1920 ), quien lo planteó como problema a su alumno Ernst Ising. El modelo unidimensional de Ising fue resuelto por el propio Ising (1925) en su tesis de 1924; [2] no tiene transición de fase. El modelo bidimensional de Ising de celosía cuadrada es mucho más difícil y Lars Onsager ( 1944 ) le dio una descripción analítica mucho más tarde . Suele resolverse mediante un método de matriz de transferencia , aunque existen diferentes enfoques, más relacionados con la teoría cuántica de campos .
En dimensiones superiores a cuatro, la transición de fase del modelo de Ising se describe mediante la teoría del campo medio .
El problema de Ising sin un campo externo se puede formular de manera equivalente como un problema de corte máximo de gráfico (Max-Cut) que se puede resolver mediante la optimización combinatoria .
Definición
Considere un conjunto Λ de sitios de celosía, cada uno con un conjunto de sitios adyacentes (por ejemplo, un gráfico ) que forman una celosía d- dimensional. Para cada sitio de celosía k ∈ Λ hay una variable discreta σ k tal que σ k ∈ {+1, −1}, que representa el giro del sitio. Una configuración de espín , σ = (σ k ) k ∈ Λ es una asignación de valor de espín a cada sitio de celosía.
Para dos sitios adyacentes cualesquiera i , j ∈ Λ hay una interacción J ij . Además, un sitio j ∈ Λ tiene un campo magnético externo h j que interactúa con él. La energía de una configuración σ viene dada por la función hamiltoniana
donde la primera suma es sobre pares de giros adyacentes (cada par se cuenta una vez). La notación ⟨ ij ⟩ estipula que los sitios i y j son los vecinos más cercanos. El momento magnético viene dado por µ. Tenga en cuenta que el signo en el segundo término del hamiltoniano anterior debería ser positivo porque el momento magnético del electrón es antiparalelo a su espín, pero el término negativo se usa convencionalmente. [3] La probabilidad de configuración viene dada por la distribución de Boltzmann con temperatura inversa β ≥ 0:
donde β = ( k B T ) −1 , y la constante de normalización
es la función de partición . Para una función f de los espines ("observable"), se denota por
el valor esperado (medio) de f .
Las probabilidades de configuración P β (σ) representan la probabilidad de que (en equilibrio) el sistema esté en un estado con configuración σ.
Discusión
El signo menos en cada término de la función hamiltoniana H (σ) es convencional. Usando esta convención de signos, los modelos de Ising se pueden clasificar según el signo de la interacción: si, para un par i , j
- , la interacción se llama ferromagnética ,
- , la interacción se llama antiferromagnética ,
- , los giros no interactúan .
El sistema se denomina ferromagnético o antiferromagnético si todas las interacciones son ferromagnéticas o todas son antiferromagnéticas. Los modelos Ising originales eran ferromagnéticos, y todavía se asume a menudo que "modelo Ising" significa un modelo Ising ferromagnético.
En un modelo de Ising ferromagnético, los espines desean estar alineados: las configuraciones en las que los espines adyacentes son del mismo signo tienen mayor probabilidad. En un modelo antiferromagnético, los espines adyacentes tienden a tener signos opuestos.
La convención de signos de H (σ) también explica cómo un sitio de espín j interactúa con el campo externo. Es decir, el sitio de giro quiere alinearse con el campo externo. Si:
- , el sitio de giro j desea alinearse en la dirección positiva,
- , el sitio de giro j desea alinearse en la dirección negativa,
- , no hay influencia externa en el sitio de giro.
Simplificaciones
Los modelos de Ising a menudo se examinan sin que un campo externo interactúe con la red, es decir, h = 0 para todo j en la red Λ. Usando esta simplificación, el hamiltoniano se convierte en
Cuando el campo externo es cero en todas partes, h = 0, el modelo de Ising es simétrico al cambiar el valor del espín en todos los sitios de la red; un campo distinto de cero rompe esta simetría.
Otra simplificación común es asumir que todos los vecinos más cercanos ⟨ ij ⟩ tienen la misma fuerza de interacción. Entonces podemos establecer J ij = J para todos los pares i , j en Λ. En este caso, el hamiltoniano se simplifica aún más a
Conexión al gráfico de corte máximo
Un subconjunto S del conjunto de vértices V (G) de un gráfico no dirigido ponderado G determina un corte del gráfico G en S y su subconjunto complementario G \ S. El tamaño del corte es la suma de los pesos de los bordes entre S y G \ S. Un tamaño máximo de corte es al menos el tamaño de cualquier otro corte, variando S.
Para el modelo de Ising sin un campo externo en un gráfico G, el hamiltoniano se convierte en la siguiente suma sobre los bordes del gráfico E (G)
.
Aquí, cada vértice i del gráfico es un sitio de giro que toma un valor de giro . Una configuración de giro determinada particiona el conjunto de vértices En dos -subconjuntos dependientes, aquellos con spin up y aquellos con giro hacia abajo . Denotamos por la -conjunto de aristas dependientes que conecta los dos subconjuntos de vértices complementarios y . El tamaño del corte para bipartito, el grafo no dirigido ponderado G se puede definir como
,
dónde denota un peso del borde y se introduce la escala 1/2 para compensar el doble conteo de los mismos pesos .
Las identidades
donde la suma total en el primer término no depende de , implica que minimizar en es equivalente a minimizar . Definición del peso del bordeasí convierte el problema de Ising sin un campo externo en un problema de Max-Cut gráfico [4] maximizando el tamaño de corte, que se relaciona con el ising hamiltoniano de la siguiente manera,
Preguntas
Un número significativo de preguntas estadísticas sobre este modelo se encuentran en el límite de un gran número de giros:
- En una configuración típica, ¿la mayoría de los giros son +1 o -1, o se dividen por igual?
- Si un giro en cualquier posición i es 1, ¿cuál es la probabilidad de que el giro en la posición j sea también 1?
- Si se cambia β , ¿hay una transición de fase?
- En una celosía Λ, ¿cuál es la dimensión fractal de la forma de un gran grupo de giros +1?
Propiedades básicas e historia
El caso más estudiado del modelo de Ising es el modelo de campo cero ferromagnético invariante en la traducción en una red d- dimensional, a saber, Λ = Z d , J ij = 1, h = 0.
En su tesis doctoral de 1924, Ising resolvió el modelo para el caso d = 1, que se puede considerar como una celosía horizontal lineal donde cada sitio solo interactúa con su vecino izquierdo y derecho. En una dimensión, la solución no admite transición de fase . [5] A saber, para cualquier β positivo, las correlaciones ⟨σ i σ j ⟩ decaimiento exponencial en | i - j |:
y el sistema está desordenado. Sobre la base de este resultado, concluyó incorrectamente que este modelo no exhibe comportamiento de fase en ninguna dimensión.
El modelo de Ising experimenta una transición de fase entre una fase ordenada y una desordenada en 2 dimensiones o más. Es decir, el sistema está desordenado para β pequeños, mientras que para β grandes el sistema exhibe un orden ferromagnético:
Esto fue probado por primera vez por Rudolf Peierls en 1936, [6] usando lo que ahora se llama un argumento de Peierls .
El modelo de Ising en una red cuadrada bidimensional sin campo magnético fue resuelto analíticamente por Lars Onsager ( 1944 ). Onsager mostró que las funciones de correlación y la energía libre del modelo de Ising están determinadas por un fermión reticular que no interactúa. Onsager anunció la fórmula para la magnetización espontánea para el modelo bidimensional en 1949, pero no dio una derivación. Yang (1952) dio la primera prueba publicada de esta fórmula, utilizando una fórmula límite para los determinantes de Fredholm , probada en 1951 por Szegő en respuesta directa al trabajo de Onsager. [7]
Significado historico
Uno de los argumentos de Demócrito en apoyo del atomismo fue que los átomos explican naturalmente los límites de fase marcados observados en los materiales [ cita requerida ] , como cuando el hielo se derrite en agua o el agua se convierte en vapor. Su idea era que pequeños cambios en las propiedades a escala atómica conducirían a grandes cambios en el comportamiento agregado. Otros creían que la materia es inherentemente continua, no atómica, y que las propiedades a gran escala de la materia no se pueden reducir a propiedades atómicas básicas.
Si bien las leyes de los enlaces químicos dejaron claro a los químicos del siglo XIX que los átomos eran reales, entre los físicos el debate continuó hasta principios del siglo XX. Los atomistas, en particular James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann , aplicaron la formulación de Hamilton de las leyes de Newton a sistemas grandes y encontraron que el comportamiento estadístico de los átomos describe correctamente los gases a temperatura ambiente. Pero la mecánica estadística clásica no tuvo en cuenta todas las propiedades de los líquidos y sólidos, ni de los gases a baja temperatura.
Una vez que se formuló la mecánica cuántica moderna , el atomismo ya no estaba en conflicto con el experimento, pero esto no condujo a una aceptación universal de la mecánica estadística, que iba más allá del atomismo. Josiah Willard Gibbs había dado un formalismo completo para reproducir las leyes de la termodinámica a partir de las leyes de la mecánica. Pero muchos argumentos defectuosos sobrevivieron desde el siglo XIX, cuando la mecánica estadística se consideraba dudosa. Los lapsos en la intuición se debieron principalmente al hecho de que el límite de un sistema estadístico infinito tiene muchas leyes cero-uno que están ausentes en los sistemas finitos: un cambio infinitesimal en un parámetro puede conducir a grandes diferencias en el comportamiento global agregado, como Demócrito esperado.
Sin transiciones de fase en volumen finito
A principios del siglo XX, algunos creían que la función de partición nunca podría describir una transición de fase, basándose en el siguiente argumento:
- La función de partición es una suma de e −β E sobre todas las configuraciones.
- La función exponencial es en todas partes analítica en función de β.
- La suma de funciones analíticas es una función analítica.
Este argumento funciona para una suma finita de exponenciales y establece correctamente que no hay singularidades en la energía libre de un sistema de tamaño finito. Para sistemas que están en el límite termodinámico (es decir, para sistemas infinitos), la suma infinita puede conducir a singularidades. La convergencia al límite termodinámico es rápida, por lo que el comportamiento de la fase ya es aparente en una red relativamente pequeña, aunque las singularidades se suavizan por el tamaño finito del sistema.
Esto fue establecido por primera vez por Rudolf Peierls en el modelo de Ising.
Gotas de Peierls
Poco después de que Lenz e Ising construyeran el modelo de Ising, Peierls pudo mostrar explícitamente que una transición de fase ocurre en dos dimensiones.
Para hacer esto, comparó los límites de alta temperatura y baja temperatura. A temperatura infinita (β = 0) todas las configuraciones tienen la misma probabilidad. Cada giro es completamente independiente de cualquier otro, y si se trazan configuraciones típicas a temperatura infinita de modo que más / menos se representen en blanco y negro, se verán como nieve de televisión . Para temperaturas altas, pero no infinitas, existen pequeñas correlaciones entre las posiciones vecinas, la nieve tiende a agruparse un poco, pero la pantalla permanece mirando al azar y no hay un exceso neto de blanco o negro.
Una medida cuantitativa del exceso es la magnetización , que es el valor medio del giro:
Un argumento falso análogo al argumento de la última sección ahora establece que la magnetización en el modelo de Ising es siempre cero.
- Cada configuración de giros tiene la misma energía que la configuración con todos los giros invertidos.
- Entonces, para cada configuración con magnetización M hay una configuración con magnetización - M con igual probabilidad.
- Por tanto, el sistema debe pasar cantidades iguales de tiempo en la configuración con la magnetización M como con magnetización - M .
- Entonces, la magnetización promedio (en todo el tiempo) es cero.
Como antes, esto solo prueba que la magnetización promedio es cero en cualquier volumen finito. Para un sistema infinito, es posible que las fluctuaciones no puedan hacer que el sistema pase de un estado mayormente positivo a un estado mayormente negativo con una probabilidad distinta de cero.
Para temperaturas muy altas, la magnetización es cero, ya que está a una temperatura infinita. Para ver esto, tenga en cuenta que si el espín A tiene solo una pequeña correlación ε con el espín B, y B está solo débilmente correlacionado con C, pero C es independiente de A, la cantidad de correlación de A y C es como ε 2 . Para dos espines separados por la distancia L , la cantidad de correlación va como ε L , pero si hay más de una ruta por la cual las correlaciones pueden viajar, esta cantidad aumenta con el número de rutas.
El número de caminos de longitud L en una celosía cuadrada en d dimensiones es
ya que hay 2 opciones de d para dónde ir en cada paso.
Un límite en la correlación total viene dado por la contribución a la correlación sumando todos los caminos que unen dos puntos, que está delimitado arriba por la suma de todos los caminos de longitud L dividida por
que va a cero cuando ε es pequeño.
A bajas temperaturas (β ≫ 1) las configuraciones están cerca de la configuración de energía más baja, aquella en la que todos los giros son más o todos los giros son menos. Peierls preguntó si es estadísticamente posible a baja temperatura, comenzando con todos los giros negativos, fluctuar hasta un estado en el que la mayoría de los giros sean positivos. Para que esto suceda, las gotas de giro positivo deben poder congelarse para formar el estado positivo.
La energía de una gota de más giros en un fondo menos es proporcional al perímetro de la gota L, donde más giros y menos giros se aproximan entre sí. Para una gota con perímetro L , el área está en algún lugar entre ( L - 2) / 2 (la línea recta) y ( L / 4) 2 (la caja cuadrada). El costo de probabilidad de introducir una gota tiene el factor e −β L , pero esto contribuye a la función de partición multiplicada por el número total de gotas con perímetro L , que es menor que el número total de caminos de longitud L :
De modo que la contribución total al giro de las gotas, incluso si se cuenta en exceso al permitir que cada sitio tenga una gota separada, está delimitada por encima de
que va a cero en general β. Para β suficientemente grande, esto suprime exponencialmente los bucles largos, de modo que no pueden ocurrir, y la magnetización nunca fluctúa demasiado lejos de -1.
Entonces, Peierls estableció que la magnetización en el modelo de Ising finalmente define sectores de superselección , dominios separados no vinculados por fluctuaciones finitas.
Dualidad Kramers-Wannier
Kramers y Wannier pudieron demostrar que la expansión a alta temperatura y la expansión a baja temperatura del modelo son iguales a un cambio de escala general de la energía libre. Esto permitió determinar exactamente el punto de transición de fase en el modelo bidimensional (bajo el supuesto de que hay un punto crítico único).
Ceros de Yang – Lee
Después de la solución de Onsager, Yang y Lee investigaron la forma en que la función de partición se vuelve singular a medida que la temperatura se acerca a la temperatura crítica.
Métodos de Monte Carlo para simulación numérica
Definiciones
El modelo de Ising a menudo puede ser difícil de evaluar numéricamente si hay muchos estados en el sistema. Considere un modelo de Ising con
- L = | Λ |: el número total de sitios en la celosía,
- σ j ∈ {−1, +1}: un sitio de giro individual en la celosía, j = 1, ..., L ,
- S ∈ {−1, +1} L : estado del sistema.
Dado que cada sitio de giro tiene ± 1 giro, hay 2 L estados diferentes que son posibles. [8] Esto motiva la razón para que el modelo de Ising sea simulado usando métodos de Monte Carlo . [8]
El hamiltoniano que se usa comúnmente para representar la energía del modelo cuando se usan métodos de Monte Carlo es
Además, el hamiltoniano se simplifica aún más asumiendo el campo externo h cero , ya que muchas preguntas que se plantean para ser resueltas usando el modelo pueden responderse en ausencia de un campo externo. Esto nos lleva a la siguiente ecuación de energía para el estado σ:
Dado este hamiltoniano, se pueden calcular cantidades de interés como el calor específico o la magnetización del imán a una temperatura determinada. [8]
Algoritmo de metrópolis
Descripción general
El algoritmo Metropolis-Hastings es el algoritmo de Monte Carlo más utilizado para calcular estimaciones del modelo de Ising. [8] El algoritmo elige primero las probabilidades de selección g (μ, ν), que representan la probabilidad de que el algoritmo seleccione el estado ν entre todos los estados, dado que uno está en el estado μ. Luego usa probabilidades de aceptación A (μ, ν) para que se satisfaga el equilibrio detallado . Si se acepta el nuevo estado ν, entonces pasamos a ese estado y repetimos seleccionando un nuevo estado y decidiendo aceptarlo. Si no se acepta ν, nos quedamos en μ. Este proceso se repite hasta que se cumple algún criterio de detención, que para el modelo de Ising suele ser cuando la red se vuelve ferromagnética , es decir, todos los sitios apuntan en la misma dirección. [8]
Al implementar el algoritmo, uno debe asegurarse de que g (μ, ν) se seleccione de manera que se cumpla la ergodicidad . En equilibrio térmico , la energía de un sistema solo fluctúa dentro de un rango pequeño. [8] Esta es la motivación detrás del concepto de dinámica de giro de un solo giro , que establece que en cada transición, solo cambiaremos uno de los sitios de giro en la red. [8] Además, mediante el uso de la dinámica de giro de un solo giro, uno puede pasar de cualquier estado a cualquier otro estado volteando cada sitio que difiere entre los dos estados uno a la vez.
La cantidad máxima de cambio entre la energía del estado actual, H μ y la energía de cualquier estado nuevo posible H ν (usando la dinámica de giro de un solo giro) es 2 J entre el giro que elegimos "voltear" para pasar al nuevo estado y el vecino de ese giro. [8] Por lo tanto, en un modelo 1D Ising, donde cada sitio tiene dos vecinos (izquierda y derecha), la diferencia máxima en energía habría 4 J .
Sea c el número de coordinación de la red ; el número de vecinos más cercanos que tiene cualquier sitio de celosía. Suponemos que todos los sitios tienen el mismo número de vecinos debido a condiciones de contorno periódicas . [8] Es importante tener en cuenta que el algoritmo Metropolis-Hastings no funciona bien alrededor del punto crítico debido a la desaceleración crítica. Se requieren otras técnicas como los métodos de redes múltiples, el algoritmo de Niedermayer, el algoritmo de Swendsen-Wang o el algoritmo de Wolff para resolver el modelo cerca del punto crítico; un requisito para determinar los exponentes críticos del sistema.
Especificación
Específicamente para el modelo de Ising y usando la dinámica de giro simple, se puede establecer lo siguiente.
Dado que hay L sitios totales en la celosía, utilizando un solo giro de giro como la única forma de hacer la transición a otro estado, podemos ver que hay un total de L nuevos estados ν desde nuestro estado actual μ. El algoritmo supone que las probabilidades de selección son iguales a los L estados: g (μ, ν) = 1 / L . El balance detallado nos dice que la siguiente ecuación debe ser válida:
Por lo tanto, queremos seleccionar la probabilidad de aceptación para que nuestro algoritmo satisfaga
Si H ν > H μ , entonces A (ν, μ)> A (μ, ν). Metropolis establece el mayor de A (μ, ν) o A (ν, μ) en 1. Según este razonamiento, el algoritmo de aceptación es: [8]
La forma básica del algoritmo es la siguiente:
- Elija un sitio de giro usando la probabilidad de selección g (μ, ν) y calcule la contribución a la energía que involucra este giro.
- Da la vuelta al valor del giro y calcula la nueva contribución.
- Si la nueva energía es menor, mantenga el valor invertido.
- Si la nueva energía es mayor, solo manténgase con probabilidad
- Repetir.
El cambio de energía H ν - H μ solo depende del valor del giro y de sus vecinos gráficos más cercanos. Entonces, si el gráfico no está demasiado conectado, el algoritmo es rápido. Este proceso eventualmente producirá una selección de la distribución.
Ver el modelo de Ising como una cadena de Markov
Es posible ver el modelo de Ising como una cadena de Markov , ya que la probabilidad inmediata P β (ν) de pasar a un estado futuro ν solo depende del estado presente μ. El algoritmo de Metropolis es en realidad una versión de una simulación de Monte Carlo de la cadena de Markov , y dado que usamos la dinámica de giro simple en el algoritmo de Metropolis, cada estado puede verse como si tuviera enlaces a exactamente L otros estados, donde cada transición corresponde a un giro un sitio de giro único al valor opuesto. [9] Además, dado que el cambio de la ecuación de energía H σ solo depende de la fuerza de interacción del vecino más cercano J , el modelo de Ising y sus variantes, como el modelo Sznajd, pueden verse como una forma de modelo de votante para la dinámica de opinión.
Una dimensión
El límite termodinámico existe siempre que el decaimiento de la interacción sea con α> 1. [10]
- En el caso de interacción ferromagnéticacon 1 <α <2, Dyson demostró, en comparación con el caso jerárquico, que hay una transición de fase a una temperatura lo suficientemente pequeña. [11]
- En el caso de interacción ferromagnética, Fröhlich y Spencer demostraron que hay una transición de fase a una temperatura lo suficientemente pequeña (en contraste con el caso jerárquico). [12]
- En el caso de la interacción con α> 2 (que incluye el caso de interacciones de rango finito), no hay transición de fase a ninguna temperatura positiva (es decir, β finita), ya que la energía libre es analítica en los parámetros termodinámicos. [10]
- En el caso de las interacciones del vecino más cercano , E. Ising proporcionó una solución exacta del modelo. A cualquier temperatura positiva (es decir, β finito), la energía libre es analítica en los parámetros termodinámicos, y la correlación de espín de dos puntos truncada decae exponencialmente rápido. A temperatura cero (es decir, β infinito), hay una transición de fase de segundo orden: la energía libre es infinita y la correlación de espín de dos puntos truncada no decae (permanece constante). Por tanto, T = 0 es la temperatura crítica de este caso. Se satisfacen las fórmulas de escala. [13]
La solución exacta de Ising
En el caso del vecino más cercano (con condiciones de contorno periódicas o libres) está disponible una solución exacta. El hamiltoniano del modelo de Ising unidimensional en una red de L sitios con condiciones de contorno periódicas es
donde J y h pueden ser cualquier número, ya que en este caso simplificado J es una constante que representa la fuerza de interacción entre los vecinos más cercanos y h es el campo magnético externo constante aplicado a los sitios de la red. Entonces la energía libre es
y la correlación espín-espín (es decir, la covarianza) es
donde C (β) yc (β) son funciones positivas para T > 0. Para T → 0, sin embargo, la longitud de correlación inversa c (β) desaparece.
Prueba
La prueba de este resultado es un simple cálculo.
Si h = 0, es muy fácil obtener la energía libre en el caso de la condición de contorno libre, es decir, cuando
Luego, el modelo se factoriza bajo el cambio de variables.
Esto da
Por tanto, la energía libre es
Con el mismo cambio de variables
por tanto, decae exponencialmente tan pronto como T ≠ 0; pero para T = 0, es decir, en el límite β → ∞ no hay desintegración.
Si h ≠ 0 necesitamos el método de la matriz de transferencia. Para las condiciones de contorno periódicas, el caso es el siguiente. La función de partición es
Los coeficientes puede verse como las entradas de una matriz. Hay diferentes opciones posibles: una conveniente (porque la matriz es simétrica) es
o
En formalismo matricial
donde λ 1 es el valor propio más alto de V , mientras que λ 2 es el otro valor propio:
y | λ 2 | <λ 1 . Esto da la fórmula de la energía libre.
Comentarios
La energía del estado más bajo es - JL , cuando todos los giros son iguales. Para cualquier otra configuración, la energía extra es igual a 2 J veces el número de cambios de signo que se encuentran al escanear la configuración de izquierda a derecha.
Si designamos el número de cambios de signo en una configuración como k , la diferencia de energía con respecto al estado de energía más bajo es 2 k . Dado que la energía es aditiva en el número de giros, la probabilidad p de tener un giro en cada posición es independiente. La razón entre la probabilidad de encontrar un cambio y la probabilidad de no encontrar uno es el factor de Boltzmann:
El problema se reduce a lanzamientos de monedas sesgados independientes . Esto esencialmente completa la descripción matemática.
A partir de la descripción en términos de lanzamientos independientes, se pueden entender las estadísticas del modelo para líneas largas. La línea se divide en dominios. Cada dominio tiene una longitud promedio exp (2β). La longitud de un dominio se distribuye exponencialmente, ya que existe una probabilidad constante en cualquier paso de encontrar un cambio. Los dominios nunca se vuelven infinitos, por lo que un sistema largo nunca se magnetiza. Cada paso reduce la correlación entre un espín y su vecino en una cantidad proporcional ap , por lo que las correlaciones caen exponencialmente.
La función de partición es el volumen de configuraciones, cada configuración ponderada por su peso de Boltzmann. Dado que cada configuración está descrita por los cambios de signo, la función de partición factoriza:
El logaritmo dividido por L es la densidad de energía libre:
que es analítico lejos de β = ∞. Un signo de una transición de fase es una energía libre no analítica, por lo que el modelo unidimensional no tiene una transición de fase.
Solución unidimensional con campo transversal
Para expresar el ising hamiltoniano utilizando una descripción mecánica cuántica de espines, reemplazamos las variables de espín con sus respectivas matrices de Pauli. Sin embargo, dependiendo de la dirección del campo magnético, podemos crear un hamiltoniano de campo transversal o de campo longitudinal. El hamiltoniano de campo transversal está dado por
El modelo de campo transversal experimenta una transición de fase entre un régimen ordenado y desordenado en J ~ h . Esto se puede demostrar mediante un mapeo de matrices de Pauli
Al reescribir el hamiltoniano en términos de estas matrices de cambio de base, obtenemos
Dado que las funciones de h y J se conmutan, el hamiltoniano experimenta una transición en J = h . [14]
Dos dimensiones
- En el caso ferromagnético hay una transición de fase. A baja temperatura, el argumento de Peierls demuestra una magnetización positiva para el caso vecino más cercano y luego, por la desigualdad de Griffiths , también cuando se agregan interacciones de mayor alcance. Mientras tanto, a alta temperatura, la expansión del clúster proporciona analiticidad de las funciones termodinámicas.
- En el caso del vecino más cercano, la energía libre fue calculada exactamente por Onsager, a través de la equivalencia del modelo con fermiones libres en la red. McCoy y Wu calcularon las funciones de correlación espín-espín.
La solución exacta de Onsager
Onsager (1944) obtuvo la siguiente expresión analítica para la energía libre del modelo de Ising en la red cuadrada anisotrópica cuando el campo magnético en el límite termodinámico en función de la temperatura y las energías de interacción horizontal y vertical y , respectivamente
A partir de esta expresión para la energía libre, todas las funciones termodinámicas del modelo se pueden calcular utilizando una derivada apropiada. El modelo 2D de Ising fue el primer modelo en exhibir una transición de fase continua a una temperatura positiva. Ocurre a la temperatura que resuelve la ecuación
En el caso isotrópico cuando las energías de interacción horizontal y vertical son iguales , la temperatura crítica ocurre en el siguiente punto
Cuando las energías de interacción , son ambos negativos, el modelo de Ising se convierte en un antiferromagnet. Dado que la celosía cuadrada es bipartita, es invariante bajo este cambio cuando el campo magnético, por lo que la energía libre y la temperatura crítica son las mismas para el caso antiferromagnético. Para la red triangular, que no es bipartita, el modelo de Ising ferromagnético y antiferromagnético se comporta de manera notablemente diferente.
Matriz de transferencia
Comience con una analogía con la mecánica cuántica. El modelo de Ising en una celosía periódica larga tiene una función de partición
Piense en la dirección i como espacio y en la dirección j como tiempo . Esta es una suma independiente de todos los valores que pueden tomar los giros en cada segmento de tiempo. Este es un tipo de integral de trayectoria , es la suma de todos los historiales de espín.
Una integral de trayectoria se puede reescribir como una evolución hamiltoniana. El hamiltoniano avanza en el tiempo realizando una rotación unitaria entre el tiempo t y el tiempo t + Δ t :
El producto de las matrices U, una tras otra, es el operador de evolución en el tiempo total, que es la integral de trayectoria con la que comenzamos.
donde N es el número de intervalos de tiempo. La suma de todos los caminos viene dada por un producto de matrices, cada elemento de la matriz es la probabilidad de transición de un segmento al siguiente.
De manera similar, se puede dividir la suma de todas las configuraciones de función de partición en segmentos, donde cada segmento es la configuración unidimensional en el momento 1. Esto define la matriz de transferencia :
La configuración de cada rebanada es una colección unidimensional de giros. En cada segmento de tiempo, T tiene elementos de matriz entre dos configuraciones de giros, uno en el futuro inmediato y otro en el pasado inmediato. Estas dos configuraciones son C 1 y C 2 , y todas son configuraciones de giro unidimensionales. Podemos pensar en el espacio vectorial sobre el que actúa T como todas las combinaciones lineales complejas de estos. Usando notación mecánica cuántica:
donde cada vector base es una configuración de giro de un modelo de Ising unidimensional.
Como el hamiltoniano, la matriz de transferencia actúa sobre todas las combinaciones lineales de estados. La función de partición es una función matricial de T, que se define por la suma de todas las historias que vuelven a la configuración original después de N pasos:
Dado que se trata de una ecuación matricial, se puede evaluar en cualquier base. Así que si podemos diagonalizar la matriz T , podemos encontrar Z .
T en términos de matrices de Pauli
La contribución a la función de partición para cada par de configuraciones pasado / futuro en un segmento es la suma de dos términos. Existe el número de giros en el segmento pasado y el número de giros entre el segmento pasado y el futuro. Defina un operador en las configuraciones que invierte el giro en el sitio i:
En la base Ising habitual, actuando sobre cualquier combinación lineal de configuraciones pasadas, produce la misma combinación lineal pero con el giro en la posición i de cada vector base invertido.
Defina un segundo operador que multiplique el vector base por +1 y −1 según el giro en la posición i :
T se puede escribir en términos de estos:
donde A y B son constantes que deben determinarse para reproducir la función de partición. La interpretación es que la configuración estadística en este segmento contribuye de acuerdo con el número de giros en el segmento y si el giro en la posición i se ha invertido o no .
Operadores de aniquilación y creación de giros giratorios
Al igual que en el caso unidimensional, cambiaremos la atención de los giros a los giros. El término σ z en T cuenta el número de giros de giro, que podemos escribir en términos de operadores de aniquilación y creación de giro de giro:
El primer término da un giro, por lo que, dependiendo de la base, indíquelo:
- mueve un spin-flip una unidad a la derecha
- mueve un spin-flip una unidad a la izquierda
- produce dos spin-flips en sitios vecinos
- destruye dos spin-flips en sitios vecinos.
Escribiendo esto en términos de operadores de creación y aniquilación:
Ignore los coeficientes constantes y centre la atención en el formulario. Todos son cuadráticos. Dado que los coeficientes son constantes, esto significa que la matriz T se puede diagonalizar mediante transformadas de Fourier.
La realización de la diagonalización produce la energía libre de Onsager.
La fórmula de Onsager para la magnetización espontánea
Onsager anunció la siguiente expresión para la magnetización espontánea M de un ferromagnet Ising bidimensional en la celosía cuadrada en dos conferencias diferentes en 1948, aunque sin pruebas [7]
dónde y son energías de interacción horizontal y vertical.
Yang (1952) sólo dio una derivación completa en 1951 utilizando un proceso limitante de transferencia de valores propios de la matriz. La demostración fue posteriormente simplificada en gran medida en 1963 por Montroll, Potts y Ward [7] utilizando la fórmula límite de Szegő para los determinantes de Toeplitz al tratar la magnetización como el límite de las funciones de correlación.
Modelo mínimo
En el punto crítico, el modelo de Ising bidimensional es una teoría de campo conforme bidimensional . Las funciones de correlación de espín y energía se describen mediante un modelo mínimo , que se ha resuelto exactamente.
Tres dimensiones
En tres como en dos dimensiones, el caso más estudiado del modelo de Ising es el modelo invariante de traducción en una red cúbica con acoplamiento de vecino más cercano en el campo magnético cero. Los mejores teóricos [¿ según quién? ] buscó una solución analítica tridimensional durante muchas décadas, que sería análoga a la solución de Onsager en el caso bidimensional. [15] A estas alturas se cree [¿ por quién? ] que tal solución no existe, aunque no hay pruebas.
En tres dimensiones, Alexander Polyakov y Vladimir Dotsenko demostraron que el modelo de Ising tiene una representación en términos de cadenas fermiónicas que no interactúan . Esta construcción se ha llevado a cabo en la celosía, y se desconoce el límite del continuo, que describe conjeturalmente el punto crítico.
Resultado NP-completo de Istrail para el modelo de vidrio giratorio general
En 2000, Sorin Istrail de Sandia National Laboratories demostró que el modelo de Ising no plano es NP-completo . [16] Es decir, asumiendo P ≠ NP, el modelo de Ising de vidrio giratorio general es exactamente resoluble solo en casos planos , por lo que las soluciones para dimensiones superiores a dos también son intratables. El resultado de Istrail solo se refiere al modelo de vidrio giratorio con acoplamientos que varían espacialmente y no dice nada sobre el modelo ferromagnético original de Ising con acoplamientos iguales.
Transición de fase
Tanto en tres como en dos dimensiones, el argumento de Peierl muestra que hay una transición de fase. Se sabe rigurosamente que esta transición de fase es continua (en el sentido de que la longitud de correlación diverge y la magnetización llega a cero) y se denomina punto crítico . Se cree que el punto crítico puede describirse mediante un punto fijo del grupo de renormalización de la transformación del grupo de renormalización de Wilson-Kadanoff. También se cree que la transición de fase puede describirse mediante una teoría de campo conformal unitario tridimensional, como lo demuestran las simulaciones de Monte Carlo [17] [18] y los argumentos teóricos. [19] Aunque es un problema abierto establecer rigurosamente la imagen del grupo de renormalización o la imagen de la teoría de campo conforme, los físicos teóricos han utilizado estos dos métodos para calcular los exponentes críticos de la transición de fase, que concuerdan con los experimentos y con el método de Monte Carlo simulaciones.
Esta teoría de campo conforme que describe el punto crítico de Ising tridimensional está bajo investigación activa utilizando el método del bootstrap conforme . [20] [21] [22] [23] Este método proporciona actualmente la información más precisa sobre la estructura de la teoría crítica (ver exponentes críticos de Ising ).
Cuatro dimensiones y más
En cualquier dimensión, el modelo de Ising puede describirse de manera productiva mediante un campo medio que varía localmente. El campo se define como el valor de giro promedio en una región grande, pero no tan grande como para incluir todo el sistema. El campo todavía tiene variaciones lentas de un punto a otro, a medida que se mueve el volumen promedio. Estas fluctuaciones en el campo se describen mediante una teoría de campo continuo en el límite del sistema infinito.
Campo local
El campo H se define como los componentes de Fourier de longitud de onda larga de la variable de espín, en el límite en que las longitudes de onda son largas. Hay muchas formas de tomar el promedio de longitudes de onda largas, dependiendo de los detalles de qué tan altas se cortan las longitudes de onda. Los detalles no son demasiado importantes, ya que el objetivo es encontrar las estadísticas de H y no los giros. Una vez que las correlaciones en H son conocidos, las correlaciones a larga distancia entre los espines serán proporcionales a las correlaciones de larga distancia en H .
Para cualquier valor del campo H que varía lentamente , la energía libre (probabilidad logarítmica) es una función analítica local de H y sus gradientes. La energía libre F ( H ) se define como la suma de todas las configuraciones de Ising que son consistentes con el campo de longitud de onda larga. Dado que H es una descripción burda, hay muchas configuraciones de Ising consistentes con cada valor de H , siempre que no se requiera demasiada exactitud para la coincidencia.
Dado que el rango permitido de valores del espín en cualquier región solo depende de los valores de H dentro de un volumen promedio de esa región, la contribución de energía libre de cada región solo depende del valor de H allí y en las regiones vecinas. Entonces F es una suma de todas las regiones de una contribución local, que solo depende de H y sus derivadas.
Por simetría en H , solo contribuyen las potencias pares. Mediante la simetría de reflexión en una red cuadrada, solo contribuyen las potencias pares de gradientes. Escribiendo los primeros términos en la energía libre:
En una red cuadrada, las simetrías garantizan que los coeficientes Z i de los términos derivados sean todos iguales. Pero incluso para un modelo de Ising anisotrópico, en el que el Z i ' s en diferentes direcciones son diferentes, las fluctuaciones en H son isotrópicas en un sistema de coordenadas en el que se reajustarán los diferentes direcciones del espacio.
En cualquier celosía, el término derivado
es una forma cuadrática definida positiva y se puede utilizar para definir la métrica del espacio. Por lo tanto, cualquier modelo de Ising invariante en traslación es invariante en rotación a largas distancias, en coordenadas que hacen que Z ij = δ ij . La simetría rotacional surge espontáneamente a grandes distancias simplemente porque no hay muchos términos de bajo orden. En puntos multicríticos de orden superior, esta simetría accidental se pierde.
Dado que β F es una función de un campo que varía lentamente en el espacio, la probabilidad de cualquier configuración de campo es:
El promedio estadístico de cualquier producto de términos H es igual a:
El denominador en esta expresión se llama función de partición , y la integral sobre todos los valores posibles de H es una integral de trayectoria estadística. Integra exp (β F ) sobre todos los valores de H , sobre todos los componentes de Fourier de longitud de onda larga de los espines. F es un lagrangiano euclidiano para el campo H , la única diferencia entre esto y la teoría cuántica de campo de un campo escalar es que todos los términos derivados entran con un signo positivo y no hay un factor general de i .
Análisis dimensional
La forma de F se puede utilizar para predecir qué términos son más importantes mediante el análisis dimensional. El análisis dimensional no es completamente sencillo, debido a que el escalado de H necesita ser determinado.
En el caso genérico, elegir la ley de escala para H es fácil, ya que el único término que contribuye es el primero,
Este término es el más significativo, pero da un comportamiento trivial. Esta forma de energía libre es ultralocal, lo que significa que es una suma de una contribución independiente de cada punto. Esto es como los spin-flips en el modelo Ising unidimensional. Cada valor de H en cualquier punto fluctúa completamente independientemente del valor en cualquier otro punto.
La escala del campo se puede redefinir para absorber el coeficiente A , y luego está claro que A solo determina la escala general de fluctuaciones. El modelo ultralocal describe el comportamiento de alta temperatura de longitud de onda larga del modelo de Ising, ya que en este límite los promedios de fluctuación son independientes de un punto a otro.
Para encontrar el punto crítico, baje la temperatura. A medida que baja la temperatura, las fluctuaciones de H aumentan porque las fluctuaciones están más correlacionadas. Esto significa que el promedio de un gran número de giros no se vuelve pequeño tan rápido como si no estuvieran correlacionados, porque tienden a ser iguales. Esto corresponde a la disminución de A en el sistema de unidades donde H no absorbe A . La transición de fase solo puede ocurrir cuando los términos de subpartida en F pueden contribuir, pero dado que el primer término domina a largas distancias, el coeficiente A debe ajustarse a cero. Esta es la ubicación del punto crítico:
donde t es un parámetro que pasa por cero en la transición.
Dado que t se está desvaneciendo, fijar la escala del campo usando este término hace que los otros términos exploten. Una vez que t es pequeño, la escala del campo se puede establecer para fijar el coeficiente del término H 4 o el término (∇ H ) 2 en 1.
Magnetización
Para encontrar la magnetización, fije la escala de H de modo que λ sea uno. Ahora el campo H tiene dimensión - d / 4, de modo que H 4 d d x no tiene dimensión, y Z tiene dimensión 2 - d / 2. En esta escala, el término de gradiente solo es importante a largas distancias para d ≤ 4. Por encima de cuatro dimensiones, a longitudes de onda largas, la magnetización general solo se ve afectada por los términos ultralocales.
Hay un punto sutil. El campo H fluctúa estadísticamente y las fluctuaciones pueden desplazar el punto cero de t . Para ver cómo, considere la división H 4 de la siguiente manera:
El primer término es una contribución constante a la energía libre y puede ignorarse. El segundo término es un cambio finito en t . El tercer término es una cantidad que escala a cero a largas distancias. Esto significa que cuando se analiza la escala de t mediante análisis dimensional, lo importante es la t desplazada . Esto fue históricamente muy confuso, porque el cambio en t en cualquier finito λ es finito, pero cerca de la transición t es muy pequeño. El cambio fraccionario en t es muy grande, y en las unidades donde t es fijo, el cambio parece infinito.
La magnetización está en el mínimo de la energía libre, y esta es una ecuación analítica. En términos de la t desplazada ,
Para t <0, los mínimos están en H proporcionales a la raíz cuadrada de t . Entonces, el argumento de la catástrofe de Landau es correcto en dimensiones mayores que 5. El exponente de magnetización en dimensiones mayores que 5 es igual al valor medio del campo.
Cuando t es negativo, las fluctuaciones sobre el nuevo mínimo se describen mediante un nuevo coeficiente cuadrático positivo. Dado que este término siempre domina, a temperaturas por debajo de la transición, las fluctuaciones vuelven a ser ultralocales a largas distancias.
Fluctuaciones
Para encontrar el comportamiento de las fluctuaciones, cambie la escala del campo para fijar el término del gradiente. Entonces, la dimensión de escala de longitud del campo es 1 - d / 2. Ahora el campo tiene fluctuaciones espaciales cuadráticas constantes a todas las temperaturas. La dimensión de escala del término H 2 es 2, mientras que la dimensión de escala del término H 4 es 4 - d . Para d <4, el término H 4 tiene una dimensión de escala positiva. En dimensiones superiores a 4 tiene dimensiones de escala negativas.
Ésta es una diferencia esencial. En dimensiones superiores a 4, fijar la escala del término gradiente significa que el coeficiente del término H 4 es cada vez menos importante a longitudes de onda cada vez más largas. La dimensión en la que comienzan a contribuir las contribuciones no cuadráticas se conoce como dimensión crítica. En el modelo de Ising, la dimensión crítica es 4.
En dimensiones superiores a 4, las fluctuaciones críticas se describen mediante una energía libre puramente cuadrática en longitudes de onda largas. Esto significa que todas las funciones de correlación son computables a partir de promedios gaussianos :
válido cuando x - y es grande. La función G ( x - y ) es la continuación analítica al tiempo imaginario del propagador de Feynman , ya que la energía libre es la continuación analítica de la acción del campo cuántico para un campo escalar libre. Para las dimensiones 5 y superiores, todas las demás funciones de correlación a largas distancias se determinan mediante el teorema de Wick . Todos los momentos impares son cero, por ± simetría. Los momentos pares son la suma de toda la partición en pares del producto de G ( x - y ) para cada par.
donde C es la constante de proporcionalidad. Entonces, saber G es suficiente. Determina todas las correlaciones multipunto del campo.
La función crítica de dos puntos
Para determinar la forma de G , considere que los campos en una integral de trayectoria obedecen a las ecuaciones clásicas de movimiento derivadas al variar la energía libre:
Esto es válido solo en puntos no coincidentes, ya que las correlaciones de H son singulares cuando los puntos chocan. H obedece a las ecuaciones clásicas de movimiento por la misma razón que los operadores de la mecánica cuántica las obedecen: sus fluctuaciones están definidas por una integral de trayectoria.
En el punto crítico t = 0, esta es la ecuación de Laplace , que puede resolverse mediante el método de Gauss a partir de la electrostática. Defina un campo eléctrico análogo por
Lejos del origen:
desde G es esféricamente simétrica en d dimensiones, y E es el gradiente radial de G . Integrado sobre una gran esfera dimensional d - 1,
Esto da:
y G se puede encontrar integrando con respecto a r .
La constante C fija la normalización general del campo.
G ( r ) lejos del punto crítico
Cuando t no es igual a cero, de modo que H fluctúa a una temperatura ligeramente alejada de la crítica, la función de dos puntos decae a largas distancias. La ecuación a la que obedece se altera:
Para r pequeño en comparación con, la solución diverge exactamente de la misma manera que en el caso crítico, pero se modifica el comportamiento a larga distancia.
Para ver cómo, conviene representar la función de dos puntos como una integral, introducida por Schwinger en el contexto de la teoría cuántica de campos:
Este es G , ya que la transformada de Fourier de esta integral es fácil. Cada contribución τ fija es un gaussiano en x , cuya transformada de Fourier es otro gaussiano de ancho recíproco en k .
Esta es la inversa del operador ∇ 2 - t en k -espacio, que actúa sobre la función unitaria en k -espacio, que es la transformada de Fourier de una fuente de función delta localizada en el origen. Entonces satisface la misma ecuación que G con las mismas condiciones de contorno que determinan la fuerza de la divergencia en 0.
La interpretación de la representación integral durante el tiempo adecuado τ es que la función de dos puntos es la suma de todas las rutas de paseo aleatorias que enlazan la posición 0 con la posición x en el tiempo τ. La densidad de estos caminos en τ tiempo en la posición x es gaussiana, pero los paseantes aleatorios desaparecen a un ritmo constante proporcional a t de manera que el Gaussian en el tiempo τ está disminuida en altura por un factor que disminuye constantemente de manera exponencial. En el contexto de la teoría cuántica de campos, estos son los caminos de los cuantos relativistas localizados en un formalismo que sigue los caminos de las partículas individuales. En el contexto estadístico puro, estos caminos todavía aparecen por la correspondencia matemática con los campos cuánticos, pero su interpretación es menos directamente física.
La representación integral muestra inmediatamente que G ( r ) es positivo, ya que se representa como una suma ponderada de gaussianos positivos. También da la tasa de caída en r grande, ya que el tiempo adecuado para que una caminata aleatoria alcance la posición τ es r 2 y en este tiempo, la altura gaussiana ha decaído en. Por tanto, el factor de decaimiento apropiado para la posición r es.
Una aproximación heurística para G ( r ) es:
Esta no es una forma exacta, excepto en tres dimensiones, donde las interacciones entre caminos se vuelven importantes. Las formas exactas en grandes dimensiones son variantes de las funciones de Bessel .
Interpretación del polímero Symanzik
La interpretación de las correlaciones como cuantos de tamaño fijo que viajan a lo largo de caminatas aleatorias da una forma de entender por qué la dimensión crítica de la interacción H 4 es 4. El término H 4 se puede considerar como el cuadrado de la densidad de las caminantes aleatorias en cualquier punto. Para que dicho término altere las funciones de correlación de orden finito, que solo introducen unos pocos nuevos paseos aleatorios en el entorno fluctuante, los nuevos caminos deben cruzarse. De lo contrario, el cuadrado de la densidad es sólo proporcional a la densidad y sólo desplaza el H 2 coeficiente por una constante. Pero la probabilidad de intersección de los paseos aleatorios depende de la dimensión, y los paseos aleatorios en una dimensión superior a 4 no se cruzan.
La dimensión fractal de un paseo aleatorio ordinario es 2. El número de bolas de tamaño ε necesarias para cubrir el trayecto aumenta como ε −2 . Dos objetos de dimensión fractal 2 se intersecarán con probabilidad razonable solo en un espacio de dimensión 4 o menos, la misma condición que para un par genérico de planos. Kurt Symanzik argumentó que esto implica que las fluctuaciones críticas de Ising en dimensiones superiores a 4 deberían describirse mediante un campo libre. Este argumento finalmente se convirtió en una prueba matemática.
4 - dimensiones ε - grupo de renormalización
El modelo de Ising en cuatro dimensiones se describe mediante un campo fluctuante, pero ahora las fluctuaciones están interactuando. En la representación de polímeros, las intersecciones de paseos aleatorios son marginalmente posibles. En la continuación del campo cuántico, los cuantos interactúan.
El logaritmo negativo de la probabilidad de cualquier configuración de campo H es la función de energía libre
Los factores numéricos están ahí para simplificar las ecuaciones de movimiento. El objetivo es comprender las fluctuaciones estadísticas. Como cualquier otra integral de trayectoria no cuadrática, las funciones de correlación tienen una expansión de Feynman como partículas que viajan a lo largo de caminos aleatorios, dividiéndose y reuniéndose en los vértices. La fuerza de interacción está parametrizada por la cantidad clásicamente adimensional λ.
Aunque el análisis dimensional muestra que tanto λ como Z son adimensionales, esto es engañoso. Las fluctuaciones estadísticas de longitud de onda larga no son exactamente invariantes de escala, y solo se vuelven invariantes de escala cuando la fuerza de interacción desaparece.
La razón es que se utiliza un límite para definir H , y el límite define la longitud de onda más corta. Las fluctuaciones de H en longitudes de onda cercanas al límite pueden afectar las fluctuaciones de longitudes de onda más largas. Si el sistema se escala junto con el límite, los parámetros se escalarán por análisis dimensional, pero luego la comparación de parámetros no compara el comportamiento porque el sistema reescalado tiene más modos. Si se cambia la escala del sistema de tal manera que el corte de la longitud de onda corta permanece fijo, las fluctuaciones de la longitud de onda larga se modifican.
Renormalización de Wilson
Una forma heurística rápida de estudiar la escala es cortar los números de onda H en un punto λ. No se permite que fluctúen los modos de Fourier de H con números de onda mayores que λ. Un cambio de escala de la longitud que hace que todo el sistema sea más pequeño aumenta todos los números de onda y mueve algunas fluctuaciones por encima del límite.
Para restaurar el corte anterior, realice una integración parcial sobre todos los números de onda que solían estar prohibidos, pero ahora están fluctuando. En los diagramas de Feynman, la integración sobre un modo fluctuante en el número de onda k enlaza las líneas que llevan el momento k en una función de correlación en pares, con un factor del propagador inverso.
En el cambio de escala, cuando el sistema se reduce en un factor de (1+ b ), el coeficiente t aumenta en un factor (1+ b ) 2 por análisis dimensional. El cambio en t para b infinitesimal es 2 bt . Los otros dos coeficientes son adimensionales y no cambian en absoluto.
El efecto de orden más bajo de la integración se puede calcular a partir de las ecuaciones de movimiento:
Esta ecuación es una identidad dentro de cualquier función de correlación lejos de otras inserciones. Después de integrar los modos con Λ < k <(1+ b ) Λ, será una identidad ligeramente diferente.
Dado que se conservará la forma de la ecuación, para encontrar el cambio en los coeficientes es suficiente analizar el cambio en el término H 3 . En una expansión del diagrama de Feynman, el término H 3 en una función de correlación dentro de una correlación tiene tres líneas colgantes. Unir dos de ellos en un número de onda grande k da un cambio H 3 con una línea colgante, por lo que es proporcional a H :
El factor 3 proviene del hecho de que el bucle se puede cerrar de tres formas diferentes.
La integral debe dividirse en dos partes:
La primera parte no es proporcional at , y en la ecuación de movimiento puede ser absorbida por un desplazamiento constante en t . Es causado por el hecho de que el término H 3 tiene una parte lineal. Solo el segundo término, que varía de t a t , contribuye a la escala crítica.
Este nuevo término lineal se suma al primer término en el lado izquierdo, cambiando t en una cantidad proporcional a t . El cambio total en t es la suma del término del análisis dimensional y este segundo término de los productos del operador :
Entonces t se reescala, pero su dimensión es anómala , se cambia en una cantidad proporcional al valor de λ.
Pero λ también cambia. El cambio en λ requiere considerar que las líneas se dividen y luego se vuelven a unir rápidamente. El proceso de orden más bajo es aquel en el que una de las tres líneas de H 3 se divide en tres, que se une rápidamente con una de las otras líneas del mismo vértice. La corrección al vértice es
El factor numérico es tres veces mayor porque hay un factor adicional de tres al elegir cuál de las tres nuevas líneas contratar. Entonces
Estas dos ecuaciones juntas definen las ecuaciones del grupo de renormalización en cuatro dimensiones:
El coeficiente B está determinado por la fórmula
y es proporcional al área de una esfera tridimensional de radio λ, multiplicado por el ancho de la región de integración b Λ dividido por Λ 4 :
En otras dimensiones, la constante B cambia, pero la misma constante aparece tanto en el flujo t como en el flujo del acoplamiento. La razón es que la derivada con respecto a t del lazo cerrado con un solo vértice es un lazo cerrado con dos vértices. Esto significa que la única diferencia entre la escala del acoplamiento y la t son los factores combinatorios de unión y división.
Punto fijo de Wilson-Fisher
Debería ser posible investigar tres dimensiones a partir de la teoría tetradimensional, porque las probabilidades de intersección de los paseos aleatorios dependen continuamente de la dimensionalidad del espacio. En el lenguaje de los gráficos de Feynman, el acoplamiento no cambia mucho cuando se cambia la dimensión.
El proceso de alejarse de la dimensión 4 no está completamente bien definido sin una receta sobre cómo hacerlo. La prescripción solo está bien definida en los diagramas. Reemplaza la representación de Schwinger en la dimensión 4 con la representación de Schwinger en la dimensión 4 - ε definida por:
En la dimensión 4 - ε, el acoplamiento λ tiene una dimensión de escala positiva ε, y esto debe agregarse al flujo.
El coeficiente B depende de la dimensión, pero se cancelará. El punto fijo para λ ya no es cero, sino en:
donde las dimensiones de la escala de t se altera en una cantidad λ B = ε / 3.
El exponente de magnetización se modifica proporcionalmente a:
que es .333 en 3 dimensiones (ε = 1) y .166 en 2 dimensiones (ε = 2). Esto no está tan lejos del exponente medido .308 y del exponente bidimensional de Onsager .125.
Dimensiones infinitas - campo medio
El comportamiento de un modelo de Ising en un gráfico completamente conectado puede entenderse completamente mediante la teoría del campo medio . Este tipo de descripción es apropiado para celosías cuadradas de muy altas dimensiones, porque entonces cada sitio tiene una gran cantidad de vecinos.
La idea es que si cada giro está conectado a un gran número de giros, solo es importante la relación promedio de + giros a - giros, ya que las fluctuaciones sobre esta media serán pequeñas. El campo medio H es la fracción promedio de giros que son + menos la fracción promedio de giros que son -. El costo de energía de girar un solo giro en el campo medio H es ± 2 JNH . Es conveniente redefinir J para absorber el factor N , de modo que el límite N → ∞ sea suave. En términos del nuevo J , el costo de energía para girar un giro es ± 2 JH .
Este costo de energía da la razón de probabilidad p de que el giro sea + a la probabilidad 1− p de que el giro sea -. Esta relación es el factor de Boltzmann:
así que eso
El valor medio de la rotación es dada por un promedio de 1 y -1 con los pesos p y 1 - p , por lo que el valor medio es 2 p - 1. Pero este promedio es el mismo para todos los giros, y es por tanto igual a H .
Las soluciones a esta ecuación son los posibles campos medios consistentes. Para β J <1, solo existe una solución en H = 0. Para valores mayores de β, hay tres soluciones, y la solución en H = 0 es inestable.
La inestabilidad significa que aumentar un poco el campo medio por encima de cero produce una fracción estadística de giros que son + que es mayor que el valor del campo medio. Por tanto, un campo medio que fluctúe por encima de cero producirá un campo medio aún mayor y, finalmente, se asentará en la solución estable. Esto significa que para temperaturas por debajo del valor crítico β J = 1, el modelo de Ising de campo medio sufre una transición de fase en el límite de N grande .
Por encima de la temperatura crítica, las fluctuaciones de H se amortiguan porque el campo medio restablece la fluctuación al campo cero. Por debajo de la temperatura crítica, el campo medio es conducido a un nuevo valor de equilibrio, que es o bien el positivo H o negativo H solución de la ecuación.
Para β J = 1 + ε, justo debajo de la temperatura crítica, el valor de H se puede calcular a partir de la expansión de Taylor de la tangente hiperbólica:
Dividiendo por H para descartar la solución inestable en H = 0, las soluciones estables son:
La magnetización espontánea H crece cerca del punto crítico como raíz cuadrada del cambio de temperatura. Esto es cierto siempre que H pueda calcularse a partir de la solución de una ecuación analítica que es simétrica entre valores positivos y negativos, lo que llevó a Landau a sospechar que todas las transiciones de fase de tipo Ising en todas las dimensiones deberían seguir esta ley.
El exponente de campo medio es universal porque los cambios en el carácter de las soluciones de las ecuaciones analíticas siempre se describen mediante catástrofes en la serie de Taylor, que es una ecuación polinómica. Por simetría, la ecuación para H solo debe tener potencias impares de H en el lado derecho. Cambiar β solo debería cambiar suavemente los coeficientes. La transición ocurre cuando el coeficiente de H en el lado derecho es 1. Cerca de la transición:
Independientemente de lo que sean A y B , siempre que ninguno de ellos esté sintonizado a cero, la magnetización espontánea crecerá como la raíz cuadrada de ε. Este argumento solo puede fallar si la energía libre β F es no analítica o no genérica en el β exacto donde ocurre la transición.
Pero la magnetización espontánea en los sistemas magnéticos y la densidad de los gases cerca del punto crítico se miden con mucha precisión. La densidad y la magnetización en tres dimensiones tienen la misma dependencia de la ley de potencia de la temperatura cerca del punto crítico, pero el comportamiento de los experimentos es:
El exponente también es universal, ya que es el mismo en el modelo de Ising que en el imán y el gas experimentales, pero no es igual al valor medio del campo. Fue una gran sorpresa.
Esto también es cierto en dos dimensiones, donde
Pero ahí no fue una sorpresa, porque fue predicho por Onsager .
Dimensiones reducidas - giros en bloque
En tres dimensiones, la serie perturbativa de la teoría de campo es una expansión en una constante de acoplamiento λ que no es particularmente pequeña. El tamaño efectivo del acoplamiento en el punto fijo es uno sobre el factor de ramificación de las trayectorias de las partículas, por lo que el parámetro de expansión es aproximadamente 1/3. En dos dimensiones, el parámetro de expansión perturbativa es 2/3.
Pero la renormalización también se puede aplicar de forma productiva a los giros directamente, sin pasar a un campo medio. Históricamente, este enfoque se debe a Leo Kadanoff y es anterior a la expansión perturbativa ε.
La idea es integrar los espines de celosía de forma iterativa, generando un flujo en los acoplamientos. Pero ahora los acoplamientos son coeficientes de energía reticular. El hecho de que exista una descripción del continuo garantiza que esta iteración convergerá a un punto fijo cuando la temperatura esté ajustada a la criticidad.
Renormalización de Migdal-Kadanoff
Escribe el modelo de Ising bidimensional con un número infinito de posibles interacciones de orden superior. Para mantener la simetría de reflexión de espín, solo los poderes pares contribuyen:
Por invariancia de traducción, J ij es solo una función de ij. Por la simetría rotacional accidental, en grandes iyj su tamaño solo depende de la magnitud del vector bidimensional i - j . Los coeficientes de orden superior también están restringidos de manera similar.
La iteración de renormalización divide el enrejado en dos partes: giros pares y giros impares. Los giros impares viven en las posiciones de celosía del tablero de ajedrez impar, y los pares en el tablero de ajedrez par. Cuando los giros están indexados por la posición ( i , j ), los sitios impares son aquellos con i + j impar y los sitios pares aquellos con i + j par, y los sitios pares solo están conectados a sitios impares.
Los dos valores posibles de los giros impares se integrarán sumando ambos valores posibles. Esto producirá una nueva función de energía libre para los giros pares restantes, con nuevos acoplamientos ajustados. Los giros pares están nuevamente en una celosía, con ejes inclinados a 45 grados con respecto a los anteriores. Al anular la rotación del sistema, se restaura la configuración anterior, pero con los nuevos parámetros. Estos parámetros describen la interacción entre giros a distancias más grande.
Comenzar desde el modelo de Ising y repetir esta iteración eventualmente cambia todos los acoplamientos. Cuando la temperatura es superior a la temperatura crítica, los acoplamientos convergerán a cero, ya que los espines a grandes distancias no están correlacionados. Pero cuando la temperatura es crítica, habrá coeficientes distintos de cero que vinculan los giros en todos los órdenes. El flujo se puede aproximar considerando solo los primeros términos. Este flujo truncado producirá cada vez mejores aproximaciones a los exponentes críticos cuando se incluyan más términos.
La aproximación más simple es mantener solo el término J habitual y descartar todo lo demás. Esto generará un flujo en J , análogo al flujo en t en el punto fijo de λ en la expansión ε.
Para encontrar el cambio en J , considere los cuatro vecinos de un sitio impar. Estos son los únicos giros que interactúan con él. La contribución multiplicativa a la función de partición de la suma de los dos valores del giro en el sitio impar es:
donde N ± es el número de vecinos que son ±. Ignorando el factor 2, la contribución de energía gratuita de este sitio extraño es:
Esto incluye interacciones del vecino más cercano y del vecino más próximo, como se esperaba, pero también una interacción de cuatro espines que debe descartarse. Para truncar a las interacciones vecinas más cercanas, considere que la diferencia de energía entre todos los giros iguales e iguales números + y - es:
De acoplamientos de vecinos más cercanos, la diferencia de energía entre todos los giros y vueltas igual escalonados es 8 J . La diferencia de energía entre todos los giros igual y nonstaggered pero red de espín cero es 4 J . Haciendo caso omiso de las interacciones de cuatro de espín, un truncamiento razonable es el promedio de estos dos energías o 6 J . Dado que cada enlace contribuirá a dos giros impares, el valor correcto para comparar con el anterior es la mitad que:
Para J pequeño , esto fluye rápidamente a acoplamiento cero. Large J' de flujo s a grandes acoplamientos. El exponente de magnetización se determina a partir de la pendiente de la ecuación en el punto fijo.
Las variantes de este método producen buenas aproximaciones numéricas para los exponentes críticos cuando se incluyen muchos términos, tanto en dos como en tres dimensiones.
Aplicaciones
Magnetismo
La motivación original del modelo fue el fenómeno del ferromagnetismo . El hierro es magnético; una vez magnetizado, permanece magnetizado durante mucho tiempo en comparación con cualquier tiempo atómico.
En el siglo XIX, se pensaba que los campos magnéticos se debían a corrientes en la materia, y Ampère postuló que los imanes permanentes son causados por corrientes atómicas permanentes. Sin embargo, el movimiento de las partículas cargadas clásicas no podría explicar las corrientes permanentes, como lo muestra Larmor . Para tener ferromagnetismo, los átomos deben tener momentos magnéticos permanentes que no se deban al movimiento de cargas clásicas.
Una vez que se descubrió el giro del electrón, quedó claro que el magnetismo debería deberse a una gran cantidad de electrones girando en la misma dirección. Era natural preguntar cómo todos los electrones saben en qué dirección girar, porque los electrones de un lado de un imán no interactúan directamente con los electrones del otro lado. Solo pueden influir en sus vecinos. El modelo de Ising se diseñó para investigar si se podía hacer girar una gran fracción de los electrones en la misma dirección utilizando únicamente fuerzas locales.
Gas de celosía
El modelo de Ising se puede reinterpretar como un modelo estadístico para el movimiento de los átomos. Dado que la energía cinética depende solo del momento y no de la posición, mientras que las estadísticas de las posiciones solo dependen de la energía potencial, la termodinámica del gas solo depende de la energía potencial para cada configuración de átomos.
Un modelo burdo consiste en hacer del espacio-tiempo una red e imaginar que cada posición contiene un átomo o no. El espacio de configuración es el de los bits independientes B i , donde cada bit es 0 o 1 dependiendo de si la posición está ocupada o no. Una interacción atractiva reduce la energía de dos átomos cercanos. Si la atracción es solo entre vecinos más cercanos, la energía se reduce en -4 JB i B j por cada par vecino ocupado.
La densidad de los átomos se puede controlar agregando un potencial químico , que es un costo de probabilidad multiplicativo para agregar un átomo más. Un factor multiplicativo en probabilidad se puede reinterpretar como un término aditivo en el logaritmo: la energía. La energía extra de una configuración con N átomos se cambia en μN . El costo de probabilidad de un átomo más es un factor de exp (- βμ ).
Entonces, la energía del gas reticular es:
Reescribiendo los bits en términos de giros,
Para celosías donde cada sitio tiene el mismo número de vecinos, este es el modelo de Ising con un campo magnético h = ( zJ - μ ) / 2, donde z es el número de vecinos.
En sistemas biológicos, se han utilizado versiones modificadas del modelo de gas de celosía para comprender una variedad de comportamientos de unión. Estos incluyen la unión de ligandos a receptores en la superficie celular, [24] la unión de proteínas de quimiotaxis al motor flagelar, [25] y la condensación de ADN. [26]
Aplicación a la neurociencia
La actividad de las neuronas en el cerebro se puede modelar estadísticamente. Cada neurona en cualquier momento está activa + o inactiva -. Las neuronas activas son aquellas que envían un potencial de acción por el axón en una ventana de tiempo determinada, y las inactivas son las que no lo hacen. Debido a que la actividad neuronal en cualquier momento se modela mediante bits independientes, Hopfield sugirió que un modelo dinámico de Ising proporcionaría una primera aproximación a una red neuronal que es capaz de aprender . [27]
Siguiendo el enfoque general de Jaynes, [28] [29] una interpretación reciente de Schneidman, Berry, Segev y Bialek, [30] es que el modelo de Ising es útil para cualquier modelo de función neuronal, porque un modelo estadístico para la actividad neuronal debe ser elegido utilizando el principio de máxima entropía . Dada una colección de neuronas, un modelo estadístico que puede reproducir la tasa de activación promedio para cada neurona introduce un multiplicador de Lagrange para cada neurona:
Pero la actividad de cada neurona en este modelo es estadísticamente independiente. Para permitir correlaciones de pares, cuando una neurona tiende a dispararse (o no) junto con otra, introduzca multiplicadores de lagrange por pares:
dónde no se limitan a los vecinos. Tenga en cuenta que esta generalización del modelo de Ising a veces se denomina distribución binaria exponencial cuadrática en estadística. Esta función de energía solo introduce sesgos de probabilidad para un giro que tiene un valor y para un par de giros que tienen el mismo valor. Las correlaciones de orden superior no están restringidas por los multiplicadores. Un patrón de actividad muestreado a partir de esta distribución requiere la mayor cantidad de bits para almacenar en una computadora, en el esquema de codificación más eficiente imaginable, en comparación con cualquier otra distribución con la misma actividad promedio y correlaciones por pares. Esto significa que los modelos de Ising son relevantes para cualquier sistema que se describe mediante bits que son lo más aleatorios posible, con restricciones en las correlaciones por pares y el número promedio de 1, que ocurre con frecuencia tanto en las ciencias físicas como en las sociales.
Girar vasos
Con el modelo de Ising también se pueden describir las llamadas gafas giratorias , por el habitual hamiltonianodonde las variables S describen los giros de Ising, mientras que las J i, k se toman de una distribución aleatoria. Para los vidrios de espín, una distribución típica elige enlaces antiferromagnéticos con probabilidad py enlaces ferromagnéticos con probabilidad 1 - p . Estos enlaces permanecen fijos o "apagados" incluso en presencia de fluctuaciones térmicas. Cuando p = 0 tenemos el modelo de Ising original. Este sistema merece interés en sí mismo; particularmente uno tiene propiedades "no ergódicas" que conducen a un comportamiento de relajación extraño. También se ha llamado mucho la atención por el enlace relacionado y el modelo de Ising diluido en el sitio, especialmente en dos dimensiones, lo que lleva a un comportamiento crítico intrigante. [31]
Hielo marino
Se pueden crear aproximaciones 2D de estanques de fusión utilizando el modelo de Ising; Los datos de la topografía del hielo marino influyen mucho en los resultados. La variable de estado es binaria para una aproximación 2D simple, ya sea agua o hielo. [32]
Ver también
- Modelo ANNNI
- Parámetro de carpeta
- Máquina de boltzmann
- Bootstrap conforme
- Imán geométricamente frustrado
- Modelo clásico de Heisenberg
- Modelo cuántico de Heisenberg
- Red de Hopfield
- Ising exponentes críticos
- JC Ward
- Modelo de Kuramoto
- Uniformidad máxima
- Operador de pedidos
- Modelo de Potts (común con el modelo Ashkin-Teller )
- Modelos de giro
- Modelo Ising de celosía cuadrada
- Algoritmo de Swendsen-Wang
- modelo tJ
- Modelo de Ising crítico bidimensional
- Algoritmo de Wolff
- Modelo XY
- Modelo ZN
Notas al pie
- ^ Ver Gallavotti (1999) , Capítulos VI-VII.
- ^ Ernst Ising, Contribución a la teoría del ferromagnetismo
- ^ Ver Baierlein (1999) , Capítulo 16.
- ^ Barahona, Francisco; Grötschel, Martin; Jünger, Michael; Reinelt, Gerhard (1988). "Una aplicación de optimización combinatoria a la física estadística y al diseño de circuitos". Investigación operativa . 36 (3): 493–513. doi : 10.1287 / opre.36.3.493 . ISSN 0030-364X . JSTOR 170992 .
- ^ El-Showk, Sheer; Paulos, Miguel F .; Polonia, David; Rychkov, Slava; Simmons-Duffin, David; Vichi, Alessandro (2014). "Resolver el modelo de 3D Ising con el Bootstrap II conformal. C -Minimización y exponentes críticos precisos" (PDF) . Revista de física estadística . 157 (4–5): 869–914. arXiv : 1403.4545 . Código bibliográfico : 2014JSP ... 157..869E . doi : 10.1007 / s10955-014-1042-7 . S2CID 119627708 . Archivado desde el original (PDF) el 7 de abril de 2014 . Consultado el 21 de abril de 2013 .
- ^ Peierls, R .; Nacido, M. (1936). "Sobre el modelo de ferromagnetismo de Ising". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 32 (3): 477. Bibcode : 1936PCPS ... 32..477P . doi : 10.1017 / S0305004100019174 .
- ^ a b c Montroll, Potts y Ward 1963 , págs. 308–309
- ^ a b c d e f g h i j Newman M. E. J., Barkema G. T., "Métodos de Monte Carlo en física estadística", Clarendon Press, 1999.
- ^ Teif, Vladimir B. (2007). "Formalismo de matriz de transferencia general para calcular la unión de ADN-proteína-fármaco en la regulación de genes" . Ácidos nucleicos Res . 35 (11): e80. doi : 10.1093 / nar / gkm268 . PMC 1920246 . PMID 17526526 .
- ^ a b Ruelle (1969). Mecánica estadística: resultados rigurosos . Nueva York: WA Benjamin Inc.
- ^ Dyson, FJ (1969). "Existencia de una transición de fase en un ferromagnet Ising unidimensional". Comm. Matemáticas. Phys . 12 (2): 91-107. Código Bibliográfico : 1969CMaPh..12 ... 91D . doi : 10.1007 / BF01645907 . S2CID 122117175 .
- ^ Fröhlich, J .; Spencer, T. (1982). "La transición de fase en el modelo Ising unidimensional con energía de interacción 1 / r 2 ". Comm. Matemáticas. Phys . 84 (1): 87–101. Código Bibliográfico : 1982CMaPh..84 ... 87F . doi : 10.1007 / BF01208373 . S2CID 122722140 .
- ^ Baxter, Rodney J. (1982), Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578 , Archivado desde el original en 2012-03-20 , recuperada 2009-10-25
- ^ Suzuki, Sei; Inoue, Jun-ichi; Chakrabarti, Bikas K. (2012). Fases y transiciones cuánticas de ising en modelos de ising transversal . Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-642-33039-1 . ISBN 978-3-642-33038-4.
- ^ Madera, Charlie. "La caricatura de imanes que ha transformado la ciencia" . Revista Quanta . Consultado el 26 de junio de 2020 .
- ^ "SIAM: el modelo de Ising es NP-completo" . archive.siam.org . Consultado el 26 de junio de 2020 .
- ^ Billó, M .; Caselle, M .; Gaiotto, D .; Gliozzi, F .; Meineri, M .; otros (2013). "Defectos de línea en el modelo 3d Ising". JHEP . 1307 (7): 055. arXiv : 1304.4110 . Código bibliográfico : 2013JHEP ... 07..055B . doi : 10.1007 / JHEP07 (2013) 055 . S2CID 119226610 .
- ^ Cosme, Catarina; Lopes, JM Viana Parente; Penedones, Joao (2015). "Simetría conforme del modelo crítico de Ising 3D dentro de una esfera". Revista de Física de Altas Energías . 2015 (8): 22. arXiv : 1503.02011 . Código bibliográfico : 2015JHEP ... 08..022C . doi : 10.1007 / JHEP08 (2015) 022 . S2CID 53710971 .
- ^ Delamotte, Bertrand; Tissier, Matthieu; Wschebor, Nicolás (2016). "La invariancia de escala implica invariancia conforme para el modelo de Ising tridimensional". Revisión E física . 93 (12144): 012144. arXiv : 1501.01776 . Código bibliográfico : 2016PhRvE..93a2144D . doi : 10.1103 / PhysRevE.93.012144 . PMID 26871060 . S2CID 14538564 .
- ^ El-Showk, Sheer; Paulos, Miguel F .; Polonia, David; Rychkov, Slava; Simmons-Duffin, David; Vichi, Alessandro (2012). "Resolver el modelo de Ising 3D con el Bootstrap conformal". Phys. Rev . D86 (2): 025022. arXiv : 1203.6064 . Código Bibliográfico : 2012PhRvD..86b5022E . doi : 10.1103 / PhysRevD.86.025022 . S2CID 39692193 .
- ^ El-Showk, Sheer; Paulos, Miguel F .; Polonia, David; Rychkov, Slava; Simmons-Duffin, David; Vichi, Alessandro (2014). "Resolver el modelo de 3D Ising con el Bootstrap II. C-Minimización y exponentes críticos precisos". Revista de física estadística . 157 (4–5): 869–914. arXiv : 1403.4545 . Código bibliográfico : 2014JSP ... 157..869E . doi : 10.1007 / s10955-014-1042-7 . S2CID 119627708 .
- ^ Simmons-Duffin, David (2015). "Un solucionador de programa semidefinito para el bootstrap conforme". Revista de Física de Altas Energías . 2015 (6): 174. arXiv : 1502.02033 . Código bibliográfico : 2015JHEP ... 06..174S . doi : 10.1007 / JHEP06 (2015) 174 . ISSN 1029-8479 . S2CID 35625559 .
- ^ Kadanoff, Leo P. (30 de abril de 2014). "Comprensión profunda lograda en el modelo 3D Ising" . Club de revistas de física de la materia condensada . Archivado desde el original el 22 de julio de 2015 . Consultado el 19 de julio de 2015 .
- ^ Shi, Y .; Duke, T. (1 de noviembre de 1998). "Modelo cooperativo de detección de bacterias". Revisión E física . 58 (5): 6399–6406. arXiv : física / 9901052 . Código Bibliográfico : 1998PhRvE..58.6399S . doi : 10.1103 / PhysRevE.58.6399 . S2CID 18854281 .
- ^ Bai, Fan; Branch, Richard W .; Nicolau, Dan V .; Pilizota, Teuta; Steel, Bradley C .; Maini, Philip K .; Berry, Richard M. (5 de febrero de 2010). "Propagación conformacional como mecanismo de cooperatividad en el interruptor flagelar bacteriano" . Ciencia . 327 (5966): 685–689. Código Bibliográfico : 2010Sci ... 327..685B . doi : 10.1126 / science.1182105 . ISSN 0036-8075 . PMID 20133571 . S2CID 206523521 .
- ^ Vtyurina, Natalia N .; Dulin, David; Docter, Margreet W .; Meyer, Anne S .; Dekker, Nynke H .; Abbondanzieri, Elio A. (18 de abril de 2016). "La histéresis en la compactación del ADN por Dps se describe mediante un modelo de Ising" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 113 (18): 4982–7. Código Bib : 2016PNAS..113.4982V . doi : 10.1073 / pnas.1521241113 . ISSN 0027-8424 . PMC 4983820 . PMID 27091987 .
- ^ JJ Hopfield (1982), "Redes neuronales y sistemas físicos con habilidades computacionales colectivas emergentes", Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA , 79 (8): 2554-2558, Bibcode : 1982PNAS ... 79.2554H , doi : 10.1073 / pnas.79.8.2554 , PMC 346238 , PMID 6953413 .
- ^ Jaynes, ET (1957), "Information Theory and Statistical Mechanics" , Physical Review , 106 (4): 620–630, Bibcode : 1957PhRv..106..620J , doi : 10.1103 / PhysRev.106.620 , S2CID 17870175 .
- ^ Jaynes, Edwin T. (1957), "Teoría de la información y mecánica estadística II", Physical Review , 108 (2): 171-190, Bibcode : 1957PhRv..108..171J , doi : 10.1103 / PhysRev.108.171 .
- ^ Elad Schneidman; Michael J. Berry; Ronen Segev; William Bialek (2006), "Las correlaciones débiles por pares implican estados de red fuertemente correlacionados en una población neuronal" , Nature , 440 (7087): 1007–1012, arXiv : q-bio / 0512013 , Bibcode : 2006Natur.440.1007S , doi : 10.1038 / nature04701 , PMC 1785327 , PMID 16625187 .
- ^ JS Wang, W Selke , VB Andreichenko y VS Dotsenko (1990), "El comportamiento crítico del modelo diluido bidimensional", Physica A , 164 (2): 221-239, Bibcode : 1990PhyA..164..221W , doi : 10.1016 / 0378-4371 (90) 90196-YCS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Yi-Ping Ma; Ivan Sudakov; Courtenay Strong; Kenneth Golden (2017), modelo de Ising para estanques de deshielo en el hielo marino del Ártico , arXiv : 1408.2487v3
Referencias
- Baxter, Rodney J. (1982), Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578
- K. Binder (2001) [1994], "Modelo de Ising" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Pincel, Stephen G. (1967). "Historia del modelo Lenz-Ising". Reseñas de Física Moderna . 39 (4): 883–893. Código Bibliográfico : 1967RvMP ... 39..883B . doi : 10.1103 / RevModPhys.39.883 .
- Baierlein, R. (1999), Física térmica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59082-2
- Gallavotti, G. (1999), Mecánica estadística , textos y monografías en física, Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-03952-6 , ISBN 978-3-540-64883-3, MR 1707309
- Huang, Kerson (1987), Mecánica estadística (segunda edición) , Wiley, ISBN 978-0-471-81518-1
- Ising, E. (1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus", Z. Phys. , 31 (1): 253–258, Bibcode : 1925ZPhy ... 31..253I , doi : 10.1007 / BF02980577 , S2CID 122157319
- Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Théorie statistique des champs, Volumen 1 , Savoirs actuels ( CNRS ), EDP Sciences Editions, ISBN 978-2-86883-360-0
- Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), teoría del campo estadístico, Volumen 1: Del movimiento browniano a la renormalización y la teoría del calibre reticular , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-40805-9
- Friedli, S .; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas de celosía: una introducción matemática concreta . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
- Ross Kindermann y J. Laurie Snell (1980), Campos aleatorios de Markov y sus aplicaciones . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3381-2 .
- Kleinert, H (1989), Gauge Fields in Condensed Matter , vol. I, "Superflow and Vortex Lines", págs. 1-742, vol. II, "Tensiones y defectos", págs. 743–1456, World Scientific (Singapur) ; Libro de bolsillo ISBN 9971-5-0210-0 (también disponible en línea: Vol. I y Vol. II )
- Kleinert, H y Schulte-Frohlinde, V (2001), Propiedades críticas de las teorías- 4 , World Scientific (Singapur) ; Libro de bolsillo ISBN 981-02-4658-7 (también disponible en línea )
- Lenz, W. (1920), "Beiträge zum Verständnis der magnetischen Eigenschaften in festen Körpern", Physikalische Zeitschrift , 21 : 613–615.
- Barry M. McCoy y Tai Tsun Wu (1973), The Two-Dimensional Ising Model . Prensa de la Universidad de Harvard, Cambridge Massachusetts, ISBN 0-674-91440-6
- Montroll, Elliott W .; Potts, Renfrey B .; Ward, John C. (1963), "Correlaciones y magnetización espontánea del modelo de Ising bidimensional" , Journal of Mathematical Physics , 4 (2): 308–322, Bibcode : 1963JMP ..... 4..308M , doi : 10.1063 / 1.1703955 , ISSN 0022-2488 , MR 0148406 , archivado desde el original el 12 de enero de 2013
- Onsager, Lars (1944), "Crystal statistics. I. Un modelo bidimensional con una transición de orden-desorden", Physical Review , Serie II, 65 (3-4): 117-149, Bibcode : 1944PhRv ... 65 ..117O , doi : 10.1103 / PhysRev.65.117 , MR 0010315
- Onsager, Lars (1949), "Discusión", Supplemento al Nuovo Cimento , 6 : 261
- John Palmer (2007), Correlaciones de ising planas . Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8 .
- Istrail, Sorin (2000), "Mecánica estadística, tridimensionalidad y completitud NP. I. Universalidad de la intratabilidad para la función de partición del modelo de Ising a través de superficies no planas (resumen extendido)" (PDF) , Proceedings of the Thirty -Segundo Simposio Anual de ACM sobre Teoría de la Computación , ACM, págs. 87–96, doi : 10.1145 / 335305.335316 , ISBN 978-1581131840, MR 2114521 , S2CID 7944336
- Yang, CN (1952), "La magnetización espontánea de un modelo de Ising bidimensional", Physical Review , Serie II, 85 (5): 808–816, Bibcode : 1952PhRv ... 85..808Y , doi : 10.1103 / PhysRev.85.808 , MR 0051740
enlaces externos
- Modelo de Ising en The Net Advance of Physics
- Barry Arthur Cipra , "El modelo Ising es NP-completo ", SIAM News , vol. 33, núm. 6; edición en línea (.pdf)
- Artículo de Science World sobre el modelo de Ising
- Un subprograma java dinámico 2D Ising de UCSC
- Un subprograma java dinámico 2D de Ising
- Un subprograma java 2D Ising más grande / más complicado
- Simulación del modelo Ising por Enrique Zeleny, el proyecto de demostraciones Wolfram
- Transiciones de fase en celosías
- Prueba tridimensional para el modelo de Ising imposible, afirma un investigador de Sandia
- Simulación interactiva de Monte Carlo de los modelos Ising, XY y Heisenberg con gráficos 3D (requiere un navegador compatible con WebGL)
- Código de modelo de Ising , ejemplo de eliminación de ruido de imagen con modelo de Ising
- Las notas de la conferencia de David Tong proporcionan una buena introducción
- La caricatura de imanes que ha transformado la ciencia : artículo de la revista Quanta sobre el modelo de Ising