La función theta original de Jacobi θ 1 con u = i π z y con un nombre q = e i π τ = 0.1 e 0.1 i π . Las convenciones son (Mathematica):
La forma más común de función theta es la que ocurre en la teoría de funciones elípticas . Con respecto a una de las variables complejas (convencionalmente llamada z ), una función theta tiene una propiedad que expresa su comportamiento con respecto a la adición de un período de las funciones elípticas asociadas, lo que la convierte en una función cuasiperiódica . En la teoría abstracta, esto proviene de una condición de descendencia de haz de líneas .
Función theta de Jacobi
Jacobi theta 1
Jacobi theta 2
Jacobi theta 3
Jacobi theta 4
Hay varias funciones estrechamente relacionadas llamadas funciones theta de Jacobi, y muchos sistemas de notación diferentes e incompatibles para ellas. Una función theta de Jacobi (llamada así por Carl Gustav Jacob Jacobi ) es una función definida para dos variables complejas z y τ , donde z puede ser cualquier número complejo y τ es la razón de medio período , confinada al semiplano superior , lo que significa tiene una parte imaginaria positiva. Está dado por la fórmula
donde q = exp (π iτ ) es el nome y η = exp (2π iz ) . Es una forma de Jacobi . En τ fijo , esta es una serie de Fourier para una función completa 1-periódica de z . En consecuencia, la función theta es 1-periódica en z :
También resulta ser τ -cuasiperiódico en z , con
Así, en general,
para cualquier número entero una y b .
Función theta θ 1 con nombre diferente q = e i π τ . El punto negro en la imagen de la derecha indica cómo cambia q con τ .
Función theta θ 1 con nombre diferente q = e i π τ . El punto negro en la imagen de la derecha indica cómo cambia q con τ .
Funciones auxiliares
La función theta de Jacobi definida anteriormente a veces se considera junto con tres funciones theta auxiliares, en cuyo caso se escribe con un subíndice doble 0:
Las funciones auxiliares (o de medio período) están definidas por
Esta notación sigue a Riemann y Mumford ; La formulación original de Jacobi era en términos del nombre q = e i π τ en lugar de τ . En la notación de Jacobi, las funciones θ están escritas:
Si establecemos z = 0 en las funciones theta anteriores, obtenemos cuatro funciones de τ solamente, definidas en el semiplano superior (a veces llamadas constantes theta). Estas pueden usarse para definir una variedad de formas modulares y parametrizar ciertas curvas; en particular, la identidad de Jacobi es
Las identidades de Jacobi describen cómo las funciones theta se transforman bajo el grupo modular , que es generado por τ ↦ τ + 1 y τ ↦ -1/τ. Las ecuaciones para la primera transformada se encuentran fácilmente ya que sumar uno a τ en el exponente tiene el mismo efecto que sumar 1/2a z ( n ≡ n 2 mod 2 ). Por el segundo, deja
Luego
Theta funciona en términos del nomo
En lugar de expresar las funciones Theta en términos de z y τ , podemos expresarlas en términos de argumentos w y el nombre q , donde w = e π iz y q = e π iτ . De esta forma, las funciones se vuelven
Vemos que las funciones theta también pueden ser definidas en términos de W y Q , sin una referencia directa a la función exponencial. Por lo tanto, estas fórmulas pueden usarse para definir las funciones Theta sobre otros campos donde la función exponencial podría no estar definida en todas partes, como los campos de números p -ádicos .
Si expresamos la función theta en términos del nombre q = e π iτ (notando que algunos autores en su lugar establecen q = e 2π iτ ) y tomamos w = e π iz entonces
Por lo tanto, obtenemos una fórmula de producto para la función theta en la forma
En términos de w y q :
donde (;) ∞ es el símbolo q -Pochhammer y θ (;) es la función q -theta . Ampliando los términos, el producto triple de Jacobi también se puede escribir
que también podemos escribir como
Esta forma es válida en general, pero claramente es de particular interés cuando z es real. Fórmulas de productos similares para las funciones theta auxiliares son
Representaciones integrales
Las funciones theta de Jacobi tienen las siguientes representaciones integrales:
que se puede demostrar que es invariante bajo sustitución de s por 1 - s . La integral correspondiente para z ≠ 0 se da en el artículo sobre la función zeta de Hurwitz .
Relación con la función elíptica de Weierstrass
Jacobi utilizó la función theta para construir (en una forma adaptada al cálculo fácil) sus funciones elípticas como los cocientes de las cuatro funciones theta anteriores, y podría haberla utilizado para construir las funciones elípticas de Weierstrass también, ya que
donde la segunda derivada es con respecto a zy la constante c se define de modo que la expansión de Laurent de ℘ ( z ) en z = 0 tiene un término constante cero.
Relación con la función q -gamma
La cuarta función theta - y por lo tanto las otras también - está íntimamente conectada a la función Jackson q -gamma a través de la relación [5]
Relaciones con la función eta de Dedekind
Sea η ( τ ) la función eta de Dedekind , y el argumento de la función theta como el nomo q = e π iτ . Luego,
y,
Consulte también las funciones modulares de Weber .
Módulo elíptico
El módulo elíptico es
y el módulo elíptico complementario es
Una solución a la ecuación del calor
La función theta de Jacobi es la solución fundamental de la ecuación de calor unidimensional con condiciones de contorno espacialmente periódicas. [6] Tomando z = x para ser real y τ = que con t real y positiva, podemos escribir
que resuelve la ecuación de calor
Esta solución de función theta es 1-periódica en x , y cuando t → 0 se acerca a la función delta periódica , o peine de Dirac , en el sentido de distribuciones
.
Las soluciones generales del problema de valor inicial espacialmente periódico para la ecuación de calor se pueden obtener convolucionando los datos iniciales en t = 0 con la función theta.
Relación con el grupo de Heisenberg
La función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg . Esta invariancia se presenta en el artículo sobre la representación theta del grupo de Heisenberg.
Generalizaciones
Si F es una forma cuadrática en n variables, entonces la función theta asociada con F es
con la suma extendiéndose sobre el entramado de enterosEsta función theta es una forma modular de peso.norte/2(en un subgrupo adecuadamente definido) del grupo modular . En la expansión de Fourier,
los números R F ( k ) se denominan números de representación de la forma.
Serie theta de un personaje de Dirichlet
Para un módulo de carácter de Dirichlet primitivo y luego
es un peso forma modular de nivel y carácter , lo que significa
cuando sea
[7]
Función theta de Ramanujan
Función theta de Riemann
Dejar
el conjunto de matrices cuadradas simétricas cuya parte imaginaria es definida positiva .se llama semiespacio superior de Siegel y es el análogo multidimensional del semiplano superior . El análogo n- dimensional del grupo modular es el grupo simpléctico para n = 1 ,El análogo n- dimensional de los subgrupos de congruencia es interpretado por
Entonces, dado la función theta de Riemann se define como
Aquí, es un vector complejo n- dimensional, y el superíndice T denota la transposición . La función theta de Jacobi es entonces un caso especial, con n = 1 y dónde es el semiplano superior . Una aplicación importante de la función theta de Riemann es que permite dar fórmulas explícitas para funciones meromórficas en superficies compactas de Riemann, así como otros objetos auxiliares que figuran de manera prominente en su teoría de funciones, tomandopara ser la matriz de período con respecto a una base canónica para su primer grupo de homología .
La theta de Riemann converge absoluta y uniformemente en subconjuntos compactos de
La ecuación funcional es
que vale para todos los vectores y para todos y
Serie Poincaré
La serie de Poincaré generaliza la serie theta a formas automórficas con respecto a grupos fucsianos arbitrarios .
Notas
^ Tyurin, Andrey N. (30 de octubre de 2002). "Cuantización, teoría de campos clásica y cuántica y funciones theta". arXiv : matemáticas / 0210466v1 .
^Yi, Jinhee (2004). "Identidades de función theta y las fórmulas explícitas para la función theta y sus aplicaciones" . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 292 (2): 381–400. doi : 10.1016 / j.jmaa.2003.12.009 .
^ El crédito apropiado por estos resultados es para Ramanujan. Vea el cuaderno perdido de Ramanujan y una referencia relevante en la función de Euler . Los resultados de Ramanujan citados en la función de Euler más algunas operaciones elementales dan los resultados a continuación, por lo que los resultados a continuación están en el cuaderno perdido de Ramanujan o se derivan inmediatamente de él.
^Mező, István (2013), "Fórmulas de duplicación que involucran funciones theta de Jacobi y q -funciones trigonométricas de Gosper ", Proceedings of the American Mathematical Society , 141 (7): 2401–2410, doi : 10.1090 / s0002-9939-2013-11576- 5
^Mező, István (2012). "Una fórmula q- Raabe y una integral de la cuarta función theta de Jacobi" . Revista de teoría de números . 133 (2): 692–704. doi : 10.1016 / j.jnt.2012.08.025 .
^Ohyama, Yousuke (1995). "Relaciones diferenciales de funciones theta" . Revista Osaka de Matemáticas . 32 (2): 431–450. ISSN 0030-6126 .
^ Shimura, sobre formas modulares de peso medio integral
Referencias
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Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elementos de la teoría de funciones elípticas . AMS Traducciones de Monografías Matemáticas. 79 . Providence, RI: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
Farkas, Hershel M .; Kra, Irwin (1980). Superficies Riemann . Nueva York: Springer-Verlag. ch. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (para el tratamiento de la theta de Riemann)
Hardy, GH ; Wright, EM (1959). Introducción a la teoría de los números (4ª ed.). Oxford: Clarendon Press.
Mumford, David (1983). Tata Conferencias sobre Theta I . Boston: Birkhauser. ISBN 978-3-7643-3109-2.
Pierpont, James (1959). Funciones de una variable compleja . Nueva York: Publicaciones de Dover.
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Reinhardt, William P .; Walker, Peter L. (2010), "Funciones Theta" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (4ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21. (historia de las funciones θ de Jacobi )
Otras lecturas
Farkas, Hershel M. (2008). "Funciones Theta en análisis complejo y teoría de números". En Alladi, Krishnaswami (ed.). Encuestas en Teoría de Números . Desarrollos en Matemáticas. 17 . Springer-Verlag . págs. 57-87. ISBN 978-0-387-78509-7. Zbl 1206.11055 .
Schoeneberg, Bruno (1974). "IX. Serie Theta". Funciones modulares elípticas . Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 203 . Springer-Verlag . págs. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
Ackerman, M. Math. Ana. (1979) 244: 75. "Sobre las funciones generadoras de ciertas series de Eisenstein " Springer-Verlag
Harry Rauch con Hershel M. Farkas: Theta funciona con aplicaciones a Riemann Surfaces, Williams y Wilkins, Baltimore MD 1974, ISBN 0-683-07196-3 .
enlaces externos
Moiseev Igor. "Funciones elípticas para Matlab y Octave" .
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