grupo abeliano elemental

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un grupo abeliano elemental (o p -grupo abeliano elemental ) es un grupo abeliano en el que cada elemento no trivial tiene orden p . El número p debe ser primo , y los grupos abelianos elementales son un tipo particular de p -grupo . ^[1]^[2] El caso en el que p = 2, es decir, un 2-grupo abeliano elemental, a veces se denomina grupo booleano . ^[3]

Cada grupo p abeliano elemental es un espacio vectorial sobre el campo primo con p elementos y, a la inversa, cada espacio vectorial de este tipo es un grupo abeliano elemental. Por la clasificación de grupos abelianos finitamente generados , o por el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base , todo grupo abeliano elemental finito debe ser de la forma ( Z / p Z ) ⁿ para n un entero no negativo (a veces llamado el grupo abeliano). rango ). Aquí, Z / p Z denota el grupo cíclico de ordenp (o, de manera equivalente, los números enteros mod p ), y la notación en superíndice significa el producto directo de n veces de grupos . ^[2]

En general, un p -grupo abeliano elemental (posiblemente infinito) es una suma directa de grupos cíclicos de orden p . ^[4] (Tenga en cuenta que en el caso finito el producto directo y la suma directa coinciden, pero esto no es así en el caso infinito).

Supongamos que V ( Z / p Z ) ⁿ es un grupo abeliano elemental. Dado que Z / p Z F _p , el campo finito de p elementos, tenemos V = ( Z / p Z ) ⁿ F _pⁿ , por lo que V puede considerarse como un espacio vectorial de n dimensiones sobre el campo F _p . Tenga en cuenta que un grupo abeliano elemental en general no tiene una base distinguida: elección de isomorfismo ${\ estilo de visualización \ cong}$ ${\ estilo de visualización \ cong}$ ${\ estilo de visualización \ cong}$ V ( Z / p Z ) ⁿ corresponde a una elección de base. ${\overset {\cong }{\to }}$

Para el lector observador, puede parecer que F _pⁿ tiene más estructura que el grupo V , en particular que tiene multiplicación escalar además de la suma (vector/grupo). Sin embargo, V como grupo abeliano tiene una estructura de módulo Z única donde la acción de Z corresponde a la suma repetida, y esta estructura de módulo Z es consistente con la multiplicación escalar Fp _.Es decir, c · g = g + g + ... + g ( c veces) donde cen F _p (considerado como un número entero con 0 ≤ c < p ) da a V una estructura natural de módulo F _p .

Como un espacio vectorial V tiene una base { e ₁ , ..., e _n } como se describe en los ejemplos, si tomamos { v ₁ , ..., v _n } como cualquier n elementos de V , entonces por lineal álgebra tenemos que el mapeo T ( e _i ) = v _i se extiende únicamente a una transformación lineal de V . Cada uno de estos T puede considerarse como un homomorfismo de grupo de V a V (un endomorfismo) y asimismo cualquier endomorfismo de V se puede considerar como una transformación lineal de V como un espacio vectorial.