En la teoría de categorías , un final de un funtores un universal transformación extranatural de un objeto e de X a S . [1]
Más explícitamente, esto es un par , donde e es un objeto de X y es una transformación extranatural tal que por cada transformación extranatural existe un morfismo único de X conpara cada objeto un de C .
Por abuso del lenguaje, el objeto e es a menudo llamado el final del functor S (olvidar) y está escrito
Caracterización como límite: si X está completo y C es pequeño, el final se puede describir como el ecualizador en el diagrama
donde el primer morfismo que se iguala es inducido por y el segundo es inducido por .
Coend
La definición del coendo de un funtor es el dual de la definición de un fin.
Por tanto, un coendo de S consta de un par, donde d es un objeto de X y es una transformación extranatural, tal que para cada transformación extranatural existe un morfismo único de X conpara cada objeto un de C .
El coendo d del funtor S se escribe
Caracterización como colimit: Dualmente, si X es cocompleto y C es pequeño, entonces el coendo puede describirse como el coequalizador en el diagrama.
Ejemplos de
- Transformaciones naturales:
Supongamos que tenemos functores luego
- .
En este caso, la categoría de conjuntos es completa, por lo que solo necesitamos formar el ecualizador y en este caso
las transformaciones naturales de a . Intuitivamente, una transformación natural de a es un morfismo de a para cada en la categoría con condiciones de compatibilidad. Mirar el diagrama del ecualizador que define el final deja en claro la equivalencia.
- Realizaciones geométricas :
Dejar ser un conjunto simplicial . Es decir, es un functor . La topología discreta da un functor, dónde es la categoría de espacios topológicos. Además, hay un mapa enviando el objeto de al estándar -simplex por dentro . Finalmente hay un functor que toma el producto de dos espacios topológicos.
Definir para ser la composición de este functor de producto con . El coendo de es la realización geométrica de .
Notas
Referencias
- Mac Lane, Saunders (2013). Categorías para el matemático que trabaja . Springer Science & Business Media. págs. 222–226.
- Loregian, Fosco (2015). "Este es el (co) final, mi único (co) amigo". arXiv : 1501.02503 [ math.CT ].