En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de grupos y la teoría de Lie , una serie central es una especie de serie normal de subgrupos o subálgebras de Lie , que expresa la idea de que el conmutador es casi trivial. Para los grupos , esta es una expresión explícita de que el grupo es un grupo nilpotente , y para los anillos de la matriz , esta es una expresión explícita de que, de alguna manera, el anillo de la matriz consiste en su totalidad en matrices triangulares superiores con diagonal constante.
Este artículo utiliza el lenguaje de la teoría de grupos; se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie.
La serie central inferior y la serie central superior (también llamada serie central descendente y serie central ascendente , respectivamente) son, a pesar de la "central" en sus nombres, series centrales si y solo si un grupo es nilpotente .
Definición
Una serie central es una secuencia de subgrupos
de manera que los cocientes sucesivos sean centrales ; es decir,, dónde denota el subgrupo de conmutadores generado por todos los elementos del formulario, Con g en G y h en H . Desde, el subgrupo es normal en G para cada i . Por lo tanto, podemos reformular la condición 'central' anterior como:es normal en G y es central en para cada i . Como consecuencia,es abeliano para cada i .
Una serie central es análoga en la teoría de Lie a una bandera que está estrictamente preservada por la acción adjunta (más prosaicamente, una base en la que cada elemento está representado por una matriz triangular estrictamente superior ); compare el teorema de Engel .
Un grupo no necesita tener una serie central. De hecho, un grupo tiene una serie central si y solo si es un grupo nilpotente . Si un grupo tiene una serie central, entonces hay dos series centrales cuyos términos son extremos en ciertos sentidos. Dado que A 0 = {1}, el centro Z ( G ) satisface A 1 ≤ Z ( G ). Por lo tanto, la elección máxima para A 1 es A 1 = Z ( G ). Continuando de esta manera para elegir la mayor A i + 1 posible dada A i, se produce lo que se llama la serie central superior . Dualmente, dado que A n = G , el subgrupo de conmutadores [ G , G ] satisface [ G , G ] = [ G , A n ] ≤ A n - 1 . Por tanto, la elección mínima para A n - 1 es [ G , G ]. Continuando eligiendo A i dado mínimamente A i + 1 tal que [ G , A i + 1 ] ≤ A i produce lo que se llama la serie central inferior . Estas series se pueden construir para cualquier grupo, y si un grupo tiene una serie central (es un grupo nilpotente), estos procedimientos producirán series centrales.
Serie central inferior
La serie central inferior (o serie central descendente ) de un grupo G es la serie descendente de subgrupos
- G = G 1 ⊵ G 2 ⊵ ⋯ ⊵ G n ⊵ ⋯,
donde, para cada n ,
- ,
el subgrupo de G generado por todos los conmutadores con y . Por lo tanto,, el subgrupo derivado de G , mientras que, etc. La serie central inferior a menudo se denota .
Esto no debe confundirse con la serie derivada , cuyos términos son
- ,
no . Las dos series están relacionadas por. Por ejemplo, el grupo simétrico S 3 tiene solución de clase 2: la serie derivada es S 3 ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e }. Pero no es nilpotente: su serie central inferior S 3 ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ ⋯ no termina. Un grupo nilpotente es un grupo solucionable , y su longitud derivada es logarítmica en su clase de nilpotencia ( Schenkman 1975 , p. 201,216).
Para grupos infinitos, se puede continuar la serie central inferior a números ordinales infinitos mediante recursividad transfinita : para un límite ordinal λ , defina
- .
Si para algún λ ordinal , entonces se dice que G es un grupo hipocentral . Para cada ordinal λ , hay un grupo G tal que, pero para todos , ( Malcev 1949 ).
Si es el primer ordinal infinito, entonces es el subgrupo normal más pequeño de G tal que el cociente es residualmente nilpotente , es decir, tal que cada elemento sin identidad tiene una imagen homomórfica sin identidad en un grupo nilpotente ( Schenkman 1975 , p. 175,183). En el campo de la teoría combinatoria de grupos , es un resultado importante y temprano que los grupos libres son residualmente nilpotentes. De hecho, los cocientes de la serie central inferior son grupos abelianos libres con una base natural definida por conmutadores básicos ( Hall 1959 , cap. 11).
Si para algunos n finitos , entonceses el subgrupo normal más pequeño de G con cociente nilpotente, yse llama el residual nilpotent de G . Este es siempre el caso de un grupo finito, y define elplazo en la serie de montaje inferior para G .
Si para todo n finito , entoncesno es nilpotente, pero es residualmente nilpotente .
No existe un término general para la intersección de todos los términos de la serie central inferior transfinita, análoga al hipercentro (abajo).
Serie central superior
La serie central superior (o serie central ascendente ) de un grupo G es la secuencia de subgrupos
donde cada grupo sucesivo se define por:
y se llama el i- ésimo centro de G (respectivamente, segundo centro , tercer centro , etc.). En este caso,es el centro de G , y para cada grupo sucesivo, el grupo de factores es el centro de , y se denomina cociente de la serie central superior .
Para grupos infinitos, se puede continuar la serie central superior a números ordinales infinitos mediante recursión transfinita : para un límite ordinal λ , defina
El límite de este proceso (la unión de los centros superiores) se llama hipercentro del grupo.
Si la serie central superior transfinita se estabiliza en todo el grupo, entonces el grupo se denomina hipercentral . Grupos hipercentral disfrutan de muchas propiedades de los grupos nilpotentes, tales como la condición normalizador (el normalizador de un subgrupo apropiado contiene adecuadamente el subgrupo), elementos de conmute orden primos entre sí, y periódicas grupos hipercentral son la suma directa de sus Sylow p -subgroups ( Schenkman 1975 , Capítulo VI.3). Para cada ordinal λ hay un grupo G con Z λ ( G ) = G , pero Z α ( G ) ≠ G para α < λ , ( Gluškov 1952 ) y ( McLain 1956 ).
Conexión entre serie central inferior y superior
Hay varias conexiones entre la serie central inferior (LCS) y la serie central superior (UCS) ( Ellis 2001 ), en particular para los grupos nilpotentes .
De manera más simple, un grupo es abeliano si y solo si el LCS termina en el primer paso (el subgrupo del conmutador es trivial) si y solo si el UCS se estabiliza en el primer paso (el centro es el grupo completo). De manera más general, para un grupo nilpotente, la longitud de la LCS y la longitud de la UCS concuerdan (y se llama la clase de nilpotencia del grupo). Sin embargo, la LCS y la UCS de un grupo nilpotente pueden no tener necesariamente los mismos términos. Por ejemplo, mientras que UCS y LCS están de acuerdo para el grupo cíclico C 2 y el grupo de cuaterniones Q 8 (que son C 2 ⊵ { e } y Q 8 ⊵ {1, -1} ⊵ {1} respectivamente), UCS y LCS de su producto directo C 2 × Q 8 no: su serie central inferior es C 2 × Q 8 ⊵ { e } × {-1, 1} ⊵ { e } × {1}, mientras que la serie central superior es C 2 × Q 8 ⊵ C 2 × {-1, 1} ⊵ { e } × {1}.
Sin embargo, el LCS se estabiliza en el paso cero si y solo si es perfecto , mientras que el UCS se estabiliza en el paso cero si y solo si no tiene centros , que son conceptos distintos, y muestran que las longitudes del LCS y UCS (interpretadas en el sentido de la duración antes de la estabilización) no es necesario que coincidan en general.
Para un grupo perfecto, el UCS siempre se estabiliza con el primer paso, un hecho llamado lema de Grün . Sin embargo, un grupo sin centro puede tener una serie central inferior muy larga: un grupo libre en dos o más generadores no tiene centro, pero su serie central inferior no se estabiliza hasta el primer ordinal infinito.
Serie central refinada
En el estudio de grupos p , a menudo es importante utilizar series centrales más largas. Una clase importante de tales series centrales son el exponente- p serie central; es decir, una serie central cuyos cocientes son grupos abelianos elementales , o lo que es lo mismo, tienen exponente p . Existe una serie única que desciende más rápidamente, la serie central de exponente más bajo- p λ definida por:
- , y
- .
El segundo término, , es igual a , el subgrupo Frattini . La serie central del exponente inferior- p se denomina a veces simplemente serie p -central.
Existe una serie única que asciende más rápidamente, el exponente superior - p serie central S definida por:
- S 0 ( G ) = 1
- S n +1 ( G ) / S n ( G ) = Ω (Z ( G / S n ( G )))
donde Ω ( Z ( H )) denota el subgrupo generado por (e igual a) el conjunto de elementos centrales de H de orden que divide p . El primer término, S 1 ( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos normales mínimos y así es igual al zócalo de G . Por esta razón, la serie central del exponente superior- p se conoce a veces como serie de zócalos o incluso serie de Loewy, aunque esta última suele utilizarse para indicar una serie descendente.
A veces son útiles otros refinamientos de la serie central, como la serie de Jennings κ definida por:
- κ 1 ( G ) = G , y
- κ n + 1 ( G ) = [ G , κ n ( G )] (κ i ( G )) p , donde i es el número entero más pequeño mayor o igual que n / p .
La serie Jennings lleva el nombre de Stephen Arthur Jennings, quien usó la serie para describir la serie Loewy del anillo de grupo modular de un grupo p .
Ver también
- Serie nilpotente , un concepto análogo para grupos solucionables
- Relaciones padre-descendiente para p -grupos finitos definidos por varios tipos de series centrales
- Grupo unipotente
Referencias
- Ellis, Graham (octubre de 2001), "On the Relation between Upper Central Quotients and Lower Central Series of a Group", Transactions of the American Mathematical Society , 353 (10): 4219–4234, doi : 10.1090 / S0002-9947-01 -02812-4 , JSTOR 2693793
- Gluškov, VM (1952), "Sobre la serie central de grupos infinitos", Mat. Sbornik , New Series, 31 : 491–496, MR 0052427
- Hall, Marshall (1959), La teoría de los grupos , Macmillan, MR 0103215
- Malcev, AI (1949), "Álgebras nilpotentes generalizadas y sus grupos asociados", Mat. Sbornik , nueva serie, 25 (67): 347–366, MR 0032644
- McLain, DH (1956), "Observaciones sobre la serie central superior de un grupo", Proc. Matemáticas de Glasgow. Assoc. , 3 : 38–44, doi : 10.1017 / S2040618500033414 , MR 0084498
- Schenkman, Eugene (1975), teoría de grupos , Robert E. Krieger Publishing, ISBN 978-0-88275-070-5, MR 0460422, especialmente el capítulo VI.