En matemáticas, específicamente en la teoría de las álgebras de Lie , el teorema de Lie establece que, [1] sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, sies una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie resoluble , entoncesestabiliza una bandera ; "estabiliza" significa para cada y yo .
Dicho de otra manera, el teorema dice que hay una base para V tal que todas las transformaciones lineales enestán representados por matrices triangulares superiores. [2] Esta es una generalización del resultado de Frobenius de que las matrices de conmutación son simultáneamente triangularizables en la parte superior , ya que las matrices de conmutación forman un álgebra de Lie abeliana , que se puede resolver a fortiori.
Una consecuencia del teorema de Lie es que cualquier álgebra de Lie resoluble de dimensión finita sobre un campo de característica 0 tiene un álgebra derivada nilpotente (ver #Consecuencias ). Además, a cada bandera en un espacio vectorial V de dimensión finita , le corresponde una subálgebra de Borel (que consiste en transformaciones lineales que estabilizan la bandera); así, el teorema dice que está contenida en alguna subálgebra de Borel de . [1]
Contraejemplo
Para campos algebraicamente cerrados de característica p > 0, el teorema de Lie se cumple siempre que la dimensión de la representación sea menor que p (ver la demostración a continuación), pero puede fallar para representaciones de dimensión p . Un ejemplo lo da el álgebra de Lie nilpotente tridimensional abarcada por 1, x y d / dx que actúa sobre el espacio vectorial p -dimensional k [ x ] / ( x p ), que no tiene vectores propios. Tomando el producto semidirecto de este álgebra de Lie tridimensional por la representación p -dimensional (considerada como un álgebra de Lie abeliana) se obtiene un álgebra de Lie resoluble cuya álgebra derivada no es nilpotente.
Prueba
La prueba es por inducción en la dimensión de y consta de varios pasos. (Nota: la estructura de la demostración es muy similar a la del teorema de Engel .) El caso básico es trivial y asumimos la dimensión dees positivo. También asumimos que V no es cero. Por simplicidad, escribimos.
Paso 1 : Observe que el teorema es equivalente al enunciado: [3]
- Existe un vector en V que es un vector propio para cada transformación lineal en.
- De hecho, el teorema dice en particular que un vector distinto de cero que abarca es un vector propio común para todas las transformaciones lineales en . Por el contrario, si v es un vector propio común, tome a su lapso y luego admite un vector propio común en el cociente ; repita el argumento.
Paso 2 : encuentra un ideal de codimensión uno en .
- Dejar ser el álgebra derivada . Desde tiene solución y tiene una dimensión positiva, y entonces el cociente es un álgebra de Lie abeliana distinta de cero, que ciertamente contiene un ideal de codimensión uno y, por la correspondencia ideal, corresponde a un ideal de codimensión uno en .
Paso 3 : existe algún funcional lineal en tal que
es distinto de cero.
- Esto se desprende de la hipótesis inductiva (es fácil comprobar que los valores propios determinan un funcional lineal).
Paso 4 : es un -módulo.
- (Tenga en cuenta que este paso prueba un hecho general y no implica la capacidad de solución).
- Dejar estar en , y establecer de forma recursiva . Para cualquier , desde es un ideal,
- .
- Esto dice que (es decir ) prohibido para está representado por una matriz cuya diagonal es repetido. Por eso, . Desde es invertible, y es un vector propio de X .
Paso 5 : Termine la demostración encontrando un vector propio común.
- Escribir donde L es un subespacio vectorial unidimensional. Dado que el campo base k es algebraicamente cerrado, existe un vector propio en para algunos (por lo tanto cada) elemento no nulo de L . Dado que ese vector también es autovector para cada elemento de , la prueba está completa.
Consecuencias
El teorema se aplica en particular a la representación adjunta de un álgebra de Lie resoluble (de dimensión finita) ; por lo tanto, se puede elegir una base en con respecto a cual consta de matrices triangulares superiores. Se deduce fácilmente que para cada, tiene una diagonal formada por ceros; es decir,es una matriz nilpotente. Según el teorema de Engel , esto implica quees un álgebra de Lie nilpotente ; lo contrario es obviamente cierto también. Además, se puede determinar si una transformación lineal es nilpotente o no después de extender el campo base hasta su cierre algebraico. Por tanto, se concluye la afirmación: [4]
- Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero se puede resolver si y solo si el álgebra derivada es nilpotente.
El teorema de Lie también establece una dirección en el criterio de Cartan para la solubilidad : si V es un vector de dimensión finita sobre un campo de característica cero y una subálgebra de mentira, entonces es solucionable si y solo si para cada y . [5]
De hecho, como antes, después de extender el campo base, la implicación se ve fácilmente. (Lo contrario es más difícil de probar).
El teorema de Lie (para varios V ) es equivalente al enunciado: [6]
- Para un álgebra de mentira solucionable , cada simple de dimensión finita -módulo (es decir, irreductible como representación) tiene dimensión uno.
De hecho, el teorema de Lie implica claramente esta afirmación. Por el contrario, suponga que la afirmación es verdadera. Dada una dimensión finita-módulo V , dejar ser un máximo -submódulo (que existe por finitud de la dimensión). Entonces, por maximalidad,es simple; por tanto, es unidimensional. La inducción ahora termina la prueba.
El enunciado dice en particular que un módulo simple de dimensión finita sobre un álgebra de Lie abeliana es unidimensional; este hecho sigue siendo cierto sin la suposición de que el campo base tiene la característica cero. [7]
Aquí hay otra aplicación bastante útil: [8]
- Dejar ser un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero con radical . Entonces cada representación simple de dimensión finitaes el producto tensorial de una representación simple de con una representación unidimensional de (es decir, una desaparición funcional lineal en corchetes de Lie).
Por el teorema de Lie, podemos encontrar un funcional lineal de para que quede el espacio de peso de . Por el paso 4 de la demostración del teorema de Lie, también es un -módulo; entonces. En particular, para cada, . Ampliar a un funcional lineal en que se desvanece en ; es entonces una representación unidimensional de . Ahora,. Desde coincide con en , tenemos eso es trivial en y así es la restricción de una representación (simple) de .
Ver también
- Teorema de Engel , que se refiere a un álgebra de Lie nilpotente .
- Teorema de Lie-Kolchin , que trata de un grupo algebraico lineal (conectado) que se puede resolver.
Referencias
Fuentes
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
- Jacobson, Nathan , álgebras de Lie , republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
- Jean-Pierre Serre: Álgebras de Lie semisimple compleja, Springer, Berlín, 2001. ISBN 3-5406-7827-1