teorema de engel

En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el teorema de Engel establece que un álgebra de Lie de dimensión finita es un álgebra de Lie nilpotente si y solo si para cada uno , el mapa adjunto ${\mathfrak{g}}$ $X\in {\mathfrak{g}}$

dado por , es un endomorfismo nilpotente en ; es decir, para algunos k . ^[1] Es una consecuencia del teorema, también llamado teorema de Engel, que dice que si un álgebra de matrices de Lie consta de matrices nilpotentes, entonces todas las matrices pueden llevarse simultáneamente a una forma estrictamente triangular superior . Tenga en cuenta que si simplemente tenemos un álgebra de Lie de matrices que es nilpotente como un álgebra de Lie , entonces esta conclusión no se sigue (es decir, el reemplazo ingenuo en el teorema de Lie $\operatorname {anuncio} (X)(Y)=[X,Y]$ ${\mathfrak{g}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {anuncio} (X) ^ {k} = 0}$ de "soluble" con "nilpotente", y "triangular superior" con "triangular estrictamente superior", es falso; esto ya falla para la subálgebra de Lie unidimensional de matrices escalares).

El teorema lleva el nombre del matemático Friedrich Engel , quien esbozó una demostración en una carta a Wilhelm Killing fechada el 20 de julio de 1890 ( Hawkins 2000 , p. 176). El estudiante de Engel, KA Umlauf, dio una prueba completa en su disertación de 1891, reimpresa como ( Umlauf 2010 ).

Sea el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V y una subálgebra. Entonces el teorema de Engel establece que los siguientes son equivalentes: ${\mathfrak {gl}}(V)$ ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$

Observamos que el enunciado 2. para varios y V es equivalente al enunciado ${\mathfrak {g}}$

Esta es la forma del teorema demostrado en #Proof . (Esta declaración es trivialmente equivalente a la Declaración 2 ya que permite construir inductivamente una bandera con la propiedad requerida).