En matemáticas , la serie de Eisenstein analítica real más simple es una función especial de dos variables. Se utiliza en la teoría de la representación de SL(2, R ) y en la teoría analítica de números . Está estrechamente relacionado con la función zeta de Epstein.
para Re( s ) > 1, y por continuación analítica para otros valores del número complejo s . La suma es sobre todos los pares de enteros coprimos.
Advertencia : hay varias otras definiciones ligeramente diferentes. Algunos autores omiten el factor de ½ y algunos suman todos los pares de números enteros que no son cero; que cambia la función por un factor de ζ(2 s ).
Visto como una función de z , E ( z , s ) es una función propia analítica real del operador de Laplace en H con el valor propio s ( s -1). En otras palabras, satisface la ecuación diferencial parcial elíptica
La función E ( z , s ) es invariante bajo la acción de SL(2, Z ) sobre z en el semiplano superior por transformaciones fraccionarias lineales . Junto con la propiedad anterior, esto significa que la serie de Eisenstein es una forma de Maass , un análogo real-analítico de una función modular elíptica clásica .
Advertencia : E ( z , s ) no es una función integrable al cuadrado de z con respecto a la métrica riemanniana invariante en H .