En matemáticas , una forma modular es un (complejo) función analítica en el semiplano superior satisfacer un cierto tipo de ecuación funcional con respecto a la acción de grupo del grupo modular , y también la satisfacción de una condición de crecimiento. La teoría de las formas modulares, por tanto, pertenece al análisis complejo, pero la principal importancia de la teoría ha estado tradicionalmente en sus conexiones con la teoría de números . Las formas modulares aparecen en otras áreas, como la topología algebraica , el empaquetamiento de esferas y la teoría de cuerdas .
Una función modular es una función que, como una forma modular, es invariante con respecto al grupo modular, pero sin la condición de que f ( z ) sea holomorfa en el semiplano superior. En cambio, las funciones modulares son meromórficas (es decir, son casi holomórficas excepto por un conjunto de puntos aislados).
La teoría de la forma modular es un caso especial de la teoría más general de las formas automórficas y, por lo tanto, ahora puede verse como la parte más concreta de una rica teoría de grupos discretos .
Definición general de formas modulares
En general, [1] dado un subgrupode índice finito , llamado grupo aritmético , una forma modular de nivel y el peso es una función holomorfa desde el semiplano superior de modo que se cumplan las dos condiciones siguientes:
1. ( condición de automorfia ) Para cualquier existe la igualdad
2. ( condición de crecimiento ) Para cualquier la función está limitado por
dónde:
Además, se denomina forma de cúspide si satisface la siguiente condición de crecimiento:
3. ( condición cúspide ) Para cualquier la función como
Como secciones de un paquete de líneas
Las formas modulares también se pueden interpretar como secciones de paquetes de una línea específica en variedades modulares . Para una forma modular de nivel y el peso puede definirse como un elemento de
dónde es un paquete de líneas canónicas en la curva modular
Las dimensiones de estos espacios de formas modulares se pueden calcular utilizando el teorema de Riemann-Roch . [2] Las formas modulares clásicas parason secciones de un haz de líneas en la pila de módulos de curvas elípticas .
Formas modulares para SL (2, Z)
Definición estándar
Una forma modular de peso k para el grupo modular
es una función de valor complejo f en el semiplano superior H = { z ∈ C , Im ( z )> 0}, que satisface las siguientes tres condiciones:
- f es una función holomorfa en H .
- Para cualquier z ∈ H y cualquier matriz en SL (2, Z ) como arriba, tenemos:
- Se requiere que f sea holomórfica ya que z → i ∞ .
Observaciones:
- El peso k es típicamente un número entero positivo.
- Para k impar , solo la función cero puede satisfacer la segunda condición.
- La tercera condición también se expresa diciendo que f es "holomórfica en la cúspide", una terminología que se explica a continuación.
- La segunda condición para
- lee
- respectivamente. Dado que S y T generan el grupo modular SL (2, Z ) , la segunda condición anterior es equivalente a estas dos ecuaciones.
- Dado que f ( z + 1) = f ( z ) , las formas modulares son funciones periódicas , con período 1 , y por lo tanto tienen una serie de Fourier .
Definición en términos de celosías o curvas elípticas
Una forma modular se puede definir de manera equivalente como una función F del conjunto de celosías en C al conjunto de números complejos que satisface ciertas condiciones:
- Si consideramos la red Λ = Z α + Z z generada por una constante α y una variable z , entonces F (Λ) es una función analítica de z .
- Si α es un número complejo distinto de cero y α Λ es la red obtenida al multiplicar cada elemento de Λ por α , entonces F ( α Λ) = α - k F (Λ) donde k es una constante (típicamente un entero positivo) llamado el peso de la forma.
- El valor absoluto de F (Λ) permanece acotado por encima siempre que el valor absoluto del elemento más pequeño distinto de cero en Λ esté acotado fuera de 0.
La idea clave para demostrar la equivalencia de las dos definiciones es que una tal función F se determina, debido a la segunda condición, por sus valores en los enrejados de la forma Z + Z τ , donde τ ∈ H .
Ejemplos de
Serie de Eisenstein
Los ejemplos más simples desde este punto de vista son la serie de Eisenstein . Para cada entero par k > 2 , definimos E k (Λ) sea la suma de λ - k sobre todas-no cero vectores lambda de Λ :
Entonces E k es una forma modular de peso k .
Para Λ = Z + Z τ tenemos
y
- .
La condición k > 2 es necesaria para la convergencia ; para k impar hay cancelación entre λ - k y (- λ ) - k , de modo que dichas series son idénticamente cero.
Funciones theta de incluso celosías unimodulares
Un retículo unimodular par L en R n es un retículo generado por n vectores que forman las columnas de una matriz de determinante 1 y que satisface la condición de que el cuadrado de la longitud de cada vector en L es un número entero par. La llamada función theta
converge cuando Im (z)> 0, y como consecuencia de la fórmula de suma de Poisson se puede demostrar que es una forma modular de peso n / 2 . No es tan fácil construir celosías unimodulares pares, pero aquí hay una forma: Sea n un número entero divisible por 8 y considere todos los vectores v en R n tales que 2 v tiene coordenadas enteras, todas pares o todas impares, y tales que la suma de las coordenadas de v es un número entero par. A esta celosía la llamamos L n . Cuando n = 8 , esta es la red generada por las raíces en el sistema de raíces llamado E 8 . Debido a que solo hay una forma modular de peso 8 hasta la multiplicación escalar,
aunque las celosías L 8 × L 8 y L 16 no son similares. John Milnor observó que los toros de 16 dimensiones obtenidos al dividir R 16 por estas dos celosías son, en consecuencia, ejemplos de variedades compactas de Riemann que son isospectrales pero no isométricas (ver Escuchar la forma de un tambor ).
El discriminante modular
La función eta de Dedekind se define como
donde q se llama nomo . Entonces, el discriminante modular Δ ( z ) = (2π) 12 η ( z ) 24 es una forma modular de peso 12. La presencia de 24 está relacionada con el hecho de que la celosía Leech tiene 24 dimensiones. Una célebre conjetura de Ramanujan afirmaba que cuando Δ ( z ) se expande como una serie de potencias en q, el coeficiente de q p para cualquier primo p tiene un valor absoluto ≤ 2 p 11/2 . Esto fue confirmado por el trabajo de Eichler , Shimura , Kuga , Ihara y Pierre Deligne como resultado de la prueba de Deligne de las conjeturas de Weil , que se demostró que implican la conjetura de Ramanujan.
Los ejemplos segundo y tercero dan alguna pista de la conexión entre las formas modulares y las preguntas clásicas en la teoría de números, como la representación de números enteros mediante formas cuadráticas y la función de partición . El vínculo conceptual crucial entre las formas modulares y la teoría de números lo proporciona la teoría de los operadores de Hecke , que también establece el vínculo entre la teoría de las formas modulares y la teoría de la representación .
Funciones modulares
Cuando el peso k es cero, se puede demostrar mediante el teorema de Liouville que las únicas formas modulares son funciones constantes. Sin embargo, relajar el requisito de que f sea holomórfico conduce a la noción de funciones modulares . Una función f : H → C se llama modular si cumple las siguientes propiedades:
- f es meromorphic en el abierto semiplano superior H .
- Para cada matriz de enteros en el grupo modular Γ ,.
- Como se señaló anteriormente, la segunda condición implica que f es periódica y, por lo tanto, tiene una serie de Fourier . La tercera condición es que esta serie sea de la forma
A menudo se escribe en términos de (el cuadrado del nomo ), como:
Esto también se conoce como la expansión q de f . Los coeficientesse conocen como los coeficientes de Fourier de f , y el número m se llama el orden del polo de f en i∞. Esta condición se denomina "meromórfica en la cúspide", lo que significa que solo un número finito de coeficientes n negativos son distintos de cero, por lo que la expansión q está acotada por debajo, lo que garantiza que es meromórfica en q = 0. [3]
Otra forma de expresar la definición de funciones modulares es usar curvas elípticas : cada celosía Λ determina una curva elíptica C / Λ sobre C ; dos celosías determinan curvas elípticas isomorfas si y solo si una se obtiene de la otra multiplicando por algún número complejo α distinto de cero . Por lo tanto, una función modular también se puede considerar como una función meromorfa en el conjunto de clases de isomorfismo de curvas elípticas. Por ejemplo, el j-invariante j ( z ) de una curva elíptica, considerada como una función en el conjunto de todas las curvas elípticas, es una función modular. Más conceptualmente, las funciones modulares se pueden considerar como funciones en el espacio de módulos de clases de isomorfismo de curvas elípticas complejas.
Una forma modular f que desaparece en q = 0 (de forma equivalente, a 0 = 0 , también parafraseada como z = i ∞ ) se llama forma de cúspide ( Spitzenform en alemán ). El n más pequeño tal que a n ≠ 0 es el orden del cero de f en i ∞ .
Una unidad modular es una función modular cuyos polos y ceros se limitan a las cúspides. [4]
Formas modulares para grupos más generales
La ecuación funcional, es decir, el comportamiento de f con respecto a se puede relajar requiriéndolo solo para matrices en grupos más pequeños.
La superficie de Riemann G \ H ∗
Sea G un subgrupo de SL (2, Z ) que es de índice finito . Tal grupo G actúa sobre H de la misma manera que SL (2, Z ) . Se puede demostrar que el espacio topológico cociente G \ H es un espacio de Hausdorff . Por lo general, no es compacto, pero se puede compactar agregando un número finito de puntos llamados cúspides . Estos son puntos en el límite de H , es decir, en Q ∪ {∞}, [5] de manera que hay un elemento parabólico de G (una matriz con traza ± 2) que fija el punto. Esto produce un espacio topológico compacto G \ H ∗ . Además, se le puede dotar de la estructura de una superficie de Riemann , lo que permite hablar de funciones holográficas y meromórficas.
Ejemplos importantes son, para cualquier entero positivo N , cualquiera de los subgrupos de congruencia
Para G = Γ 0 ( N ) o Γ ( N ) , los espacios G \ H y G \ H ∗ se denotan Y 0 ( N ) y X 0 ( N ) e Y ( N ), X ( N ), respectivamente.
La geometría de G \ H ∗ puede entenderse estudiando los dominios fundamentales de G , es decir, los subconjuntos D ⊂ H de manera que D interseque cada órbita de la acción G en H exactamente una vez y de manera que el cierre de D se encuentre con todas las órbitas. Por ejemplo, se puede calcular el género de G \ H ∗ . [6]
Definición
Una forma modular para G de peso k es una función en H que satisface la ecuación funcional anterior para todas las matrices en G , que es holomorphic en H y en todos los cambios de signo de G . Una vez más, las formas modulares que se desvanecen en todas las cúspides se denominan formas cúspides para G . Los espacios del vector C de las formas modulares y de cúspide de peso k se denominan M k ( G ) y S k ( G ) , respectivamente. Del mismo modo, una función meromorphic en G \ H * se llama una función de modular para G . En el caso de G = Γ 0 ( N ), sino que también se les conoce como formas modular / cúspides y las funciones de nivel N . Para G = Γ (1) = SL (2, Z ) , esto devuelve las definiciones antes mencionadas.
Consecuencias
La teoría de las superficies de Riemann se puede aplicar a G \ H ∗ para obtener más información sobre formas y funciones modulares. Por ejemplo, los espacios M k ( G ) y S k ( G ) son de dimensión finita, y sus dimensiones se pueden calcular gracias al teorema de Riemann-Roch en términos de la geometría de la G -action en H . [7] Por ejemplo,
dónde denota la función de suelo y incluso.
Las funciones modulares constituyen el campo de funciones de la superficie de Riemann, y por tanto forman un campo de trascendencia grado uno (sobre C ). Si una función modular f no es idénticamente 0, entonces se puede demostrar que el número de ceros de f es igual al número de polos de f en el cierre de la región fundamental R Γ . La función de nivel N ( N ≥ 1) es generada por las funciones j ( z ) y j ( Nz ). [8]
Paquetes de líneas
La situación se puede comparar de manera provechosa con la que surge en la búsqueda de funciones en el espacio proyectivo P ( V ): en ese escenario, uno idealmente desearía funciones F en el espacio vectorial V que son polinomiales en las coordenadas de v ≠ 0 en V y satisfaga la ecuación F ( cv ) = F ( v ) para todo c distinto de cero . Desafortunadamente, las únicas funciones de este tipo son las constantes. Si permitimos denominadores (funciones racionales en lugar de polinomios), podemos dejar que F sea la razón de dos polinomios homogéneos del mismo grado. Alternativamente, podemos ceñirnos a los polinomios y aflojar la dependencia de c , dejando F ( cv ) = c k F ( v ). Las soluciones son entonces los polinomios homogéneos de grado k . Por un lado, estos forman un espacio vectorial de dimensión finita para cada k , y por el otro, si dejamos que k varíe, podemos encontrar los numeradores y denominadores para construir todas las funciones racionales que son realmente funciones en el espacio proyectivo subyacente P ( V ).
Uno podría preguntarse, dado que los polinomios homogéneos no son realmente funciones en P ( V ), ¿qué son, geométricamente hablando? La respuesta algebro-geométrica es que son secciones de un haz (también se podría decir un paquete de líneas en este caso). La situación con las formas modulares es precisamente análoga.
Las formas modulares también se pueden abordar de manera rentable desde esta dirección geométrica, como secciones de haces de líneas en el espacio de módulos de curvas elípticas.
Anillos de formas modulares
Para un subgrupo Γ de SL (2, Z ) , el anillo de formas modulares es el anillo escalonado generado por las formas modulares de Γ . En otras palabras, si M k (Γ) es el anillo de formas modulares de peso k , entonces el anillo de formas modulares de Γ es el anillo graduado.
Los anillos de formas modulares de subgrupos de congruencia de SL (2, Z ) se generan finitamente debido a un resultado de Pierre Deligne y Michael Rapoport . Dichos anillos de formas modulares se generan en peso como máximo 6 y las relaciones se generan en peso como máximo 12 cuando el subgrupo de congruencia tiene formas modulares de peso impar diferente de cero, y los límites correspondientes son 5 y 10 cuando no hay formas modulares de peso impar diferente de cero. .
De manera más general, existen fórmulas para los límites de los pesos de los generadores del anillo de formas modulares y sus relaciones para grupos fucsianos arbitrarios .
Tipos
Formas enteras
Si f es holomórfica en la cúspide (no tiene polo en q = 0), se denomina forma modular completa .
Si f es meromórfica pero no holomórfica en la cúspide, se denomina forma modular no completa . Por ejemplo, el invariante j es una forma modular no completa de peso 0 y tiene un polo simple en i∞.
Nuevas formas
Las nuevas formas son un subespacio de formas modulares [9] de un peso fijo que no se puede construir a partir de formas modulares de pesos más bajos divisor . Las otras formas se denominan formas antiguas . Estos formularios antiguos se pueden construir utilizando las siguientes observaciones: si luego dando una inclusión inversa de formas modulares .
Formas de cúspide
Una forma de cúspide es una forma modular con un coeficiente constante cero en su serie de Fourier. Se llama forma de cúspide porque la forma desaparece en todas las cúspides.
Generalizaciones
Hay una serie de otros usos del término "función modular", además de este clásico; por ejemplo, en la teoría de las medidas de Haar , es una función Δ ( g ) determinada por la acción de conjugación.
Las formas de Maass son funciones propias analíticas reales del laplaciano, pero no tienen por qué ser holomórficas . Las partes holomórficas de ciertas formas de ondas débiles de Maass resultan ser esencialmente funciones theta simuladas de Ramanujan. Se pueden considerargrupos que no son subgrupos de SL (2, Z ) .
Las formas modulares de Hilbert son funciones en n variables, cada una de las cuales es un número complejo en el semiplano superior, que satisface una relación modular para matrices de 2 × 2 con entradas en un campo numérico totalmente real .
Las formas modulares de Siegel se asocian a grupos simplécticos más grandesde la misma manera en que las formas modulares clásicas se asocian a SL (2, R ) ; en otras palabras, se relacionan con las variedades abelianas en el mismo sentido en que las formas modulares clásicas (que a veces se denominan formas modulares elípticas para enfatizar el punto) se relacionan con las curvas elípticas.
Las formas de Jacobi son una mezcla de formas modulares y funciones elípticas. Los ejemplos de tales funciones son muy clásicos: las funciones theta de Jacobi y los coeficientes de Fourier de las formas modulares de Siegel del género dos, pero es una observación relativamente reciente que las formas de Jacobi tienen una teoría aritmética muy análoga a la teoría habitual de las formas modulares.
Las formas automórficas extienden la noción de formas modulares a los grupos de Lie generales.
Las integrales modulares de peso k son funciones meromórficas en el semiplano superior de crecimiento moderado en el infinito que no logran ser modulares de peso k por una función racional.
Los factores automórficos son funciones de la forma que se utilizan para generalizar la relación de modularidad definiendo formas modulares, de modo que
La función es el nebentipo de la forma modular. Funciones como la función eta de Dedekind , una forma modular de peso 1/2, pueden ser abarcadas por la teoría al permitir factores automórficos.
Historia
La teoría de las formas modulares se desarrolló en cuatro períodos: primero en relación con la teoría de las funciones elípticas , en la primera parte del siglo XIX; luego por Felix Klein y otros hacia fines del siglo XIX cuando se entendió el concepto de forma automórfica (para una variable); luego por Erich Hecke desde aproximadamente 1925; y luego, en la década de 1960, cuando las necesidades de la teoría de números y la formulación del teorema de la modularidad en particular dejaron en claro que las formas modulares están profundamente implicadas.
El término "forma modular", como descripción sistemática, se suele atribuir a Hecke.
Notas
- ^ Lan, Kai-Wen. "Cohomología de paquetes automórficos" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 1 de agosto de 2020.
- ^ Milne. "Funciones modulares y formas modulares" . pag. 51.
- ^ Unafunción meromórfica solo puede tener un número finito de términos de exponente negativo en su serie de Laurent, su expansión q. Solo puede tener como máximo un polo en q = 0, no una singularidad esencial como exp (1 / q ).
- ^ Kubert, Daniel S .; Lang, Serge (1981), Unidades modulares , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de la ciencia matemática], 244 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 24, ISBN 978-0-387-90517-4, MR 0648603 , Zbl 0.492,12002
- ^ Aquí, una matrizenvía ∞ para un / c .
- ^ Gunning, Robert C. (1962), Conferencias sobre formas modulares , Annals of Mathematics Studies, 48 , Princeton University Press, pag. 13
- ^ Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, 11 , Tokio: Iwanami Shoten, Teorema 2.33, Proposición 2.26
- ^ Milne, James (2010), Funciones modulares y formas modulares (PDF) , p. 88, Teorema 6.1.
- ^ Mocanu, Andreea. "Teoría de Atkin-Lehner de Γ 1 ( norte ) {\ Displaystyle \ Gamma _ {1} (N)} -Formas modulares " (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 31 de julio de 2020.
Referencias
- Apostol, Tom M. (1990), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0
- Diamond, Fred; Shurman, Jerry Michael (2005), Un primer curso en formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas, 228 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387232294 Conduce a una descripción general de la demostración del teorema de modularidad .
- Gelbart, Stephen S. (1975), Formas automórficas en grupos Adele , Annals of Mathematics Studies, 83 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, MR 0379375. Proporciona una introducción a las formas modulares desde el punto de vista de la teoría de la representación .
- Hecke, Erich (1970), Mathematische Werke , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht
- Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X
- Ribet, K .; Stein, W., Conferencias sobre formularios modulares y operadores Hecke (PDF)
- Serre, Jean-Pierre (1973), Un curso de aritmética , Textos de posgrado en matemáticas, 7 , Nueva York: Springer-Verlag. El capítulo VII proporciona una introducción elemental a la teoría de las formas modulares .
- Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. Proporciona un tratamiento más avanzado.
- Skoruppa, NP; Zagier, D. (1988), "Las formas de Jacobi y un cierto espacio de formas modulares", Inventiones Mathematicae , Springer