Equivalencia (teoría de la medida)

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En matemáticas , y específicamente en teoría de medidas , la equivalencia es una noción de dos medidas que son cualitativamente similares. Específicamente, las dos medidas coinciden en qué eventos tienen medida cero.

Sea y sea ​​dos medidas en el espacio medible , y sea ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

ser los conjuntos de - conjuntos nulos y conjuntos -nulos, respectivamente. Entonces se dice que la medida es absolutamente continua en referencia a iff . Esto se denota como .${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ nu} \ supseteq {\ mathcal {N}} _ {\ mu}}$${\ Displaystyle \ nu \ ll \ mu}$

Las dos medidas se denominan equivalentes iff y , ^[1] que se denota como . Es decir, dos medidas son equivalentes si satisfacen .${\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu}$${\ Displaystyle \ nu \ ll \ mu}$${\ Displaystyle \ mu \ sim \ nu}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ mu} = {\ mathcal {N}} _ {\ nu}}$

para todos los conjuntos Borel . Entonces y son equivalentes, ya que todos los conjuntos fuera de tienen y miden cero, y un conjunto dentro es un conjunto -nulo o un conjunto -nulo exactamente cuando es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue .${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$

Mire un espacio medible y deje que sea ​​la medida de conteo , por lo que${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$${\ Displaystyle \ mu}$

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