En matemáticas , específicamente en la teoría de la medida , la medida de conteo es una forma intuitiva de poner una medida en cualquier conjunto : el "tamaño" de un subconjunto se toma como el número de elementos en el subconjunto si el subconjunto tiene un número finito de elementos, y ∞ si el subconjunto es infinito . [1]
La medida de recuento se puede definir en cualquier espacio medible (es decir, cualquier conjuntojunto con sigma-álgebra) pero se usa principalmente en conjuntos contables . [1]
En notación formal, podemos convertir cualquier conjunto en un espacio medible tomando el conjunto de poder decomo sigma-álgebra , es decir, todos los subconjuntos de son medibles. Entonces la medida de contar en este espacio medible es la medida positiva definido por
para todos , dónde denota la cardinalidad del conjunto. [2]
La medida de contar en es σ-finito si y solo si el espacioes contable . [3]
Discusión
La medida de conteo es un caso especial de construcción más general. Con la notación anterior, cualquier función define una medida en vía
donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el supremo de las sumas sobre todos los subconjuntos finitos, es decir,
Tomando f ( x ) = 1 para todo x en X da la medida de conteo.
Referencias
- ^ a b Medida de conteo en PlanetMath .
- ^ Schilling, René L. (2005). Medidas, Integrales y Martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 27. ISBN 0-521-61525-9.
- ^ Hansen, Ernst (2009). Teoría de la medida (Cuarta ed.). Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Copenhague. pag. 47. ISBN 978-87-91927-44-7.