Cohomología equivariante

En matemáticas , la cohomología equivariante (o cohomología de Borel ) es una teoría de cohomología de topología algebraica que se aplica a espacios topológicos con acción grupal . Puede verse como una generalización común de la cohomología de grupo y una teoría de la cohomología ordinaria . Específicamente, el anillo de cohomología equivariante de un espacio con acción de un grupo topológico se define como el anillo de cohomología ordinaria con anillo de coeficiente del cociente de homotopía : ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ ${\ Displaystyle EG \ times _ {G} X}$

Si es el grupo trivial , este es el anillo de cohomología ordinario de , mientras que si es contráctil , se reduce al anillo de cohomología del espacio de clasificación (es decir, la cohomología de grupo de cuando G es finito). Si G actúa libremente sobre X , entonces el mapa canónico es una equivalencia de homotopía y así se obtiene: ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ displaystyle BG}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle EG \ times _ {G} X \ to X / G}$ ${\ Displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; \ Lambda) = H ^ {*} (X / G; \ Lambda).}$

También es posible definir la cohomología equivariante de con coeficientes en un -módulo A ; estos son grupos abelianos . Esta construcción es análoga a la cohomología con coeficientes locales. ${\ Displaystyle H_ {G} ^ {*} (X; A)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle G}$

Si X es una variedad, G un grupo de Lie compacto y es el campo de números reales o el campo de números complejos (la situación más típica), entonces la cohomología anterior puede calcularse usando el llamado modelo de Cartan (ver formas diferenciales equivariantes .) ${\ Displaystyle \ Lambda}$

La construcción no debe confundirse con otras teorías de cohomología, como la cohomología de Bredon o la cohomología de formas diferenciales invariantes : si G es un grupo de Lie compacto, entonces, mediante el argumento promediador ^{[ cita requerida ]} , cualquier forma puede hacerse invariante; por tanto, la cohomología de formas diferenciales invariantes no produce nueva información.