En geometría diferencial, una forma diferencial equivariante en una variedad M sobre la que actúa un grupo de Lie G es un mapa polinomial
del álgebra de Lie al espacio de formas diferenciales en M que son equivariantes; es decir,
En otras palabras, una forma diferencial equivariante es un elemento invariante de [1]
Para una forma diferencial equivariante , la derivada exterior equivariante de es definido por
donde d es la derivada exterior habitual yes el producto interior por el campo de vector fundamental generada por X . Es fácil de ver (use el hecho de la derivada de Lie de a lo largo de es cero) y luego uno pone
que se llama la cohomología equivariante de M (que coincide con la cohomología equivariante ordinaria definida en términos de construcción de Borel ). La definición se debe a H. Cartan. La noción tiene una aplicación a la teoría del índice equivariante .
-cerrado o -Las formas exactas se denominan equivariamente cerradas o equivariamente exactas .
La integral de una forma equivariamente cerrada puede evaluarse desde su restricción al punto fijo mediante la fórmula de localización .
Referencias
- ^ Prueba: con, tenemos: Nota es el anillo de polinomios en funcionales lineales de ; ver anillo de funciones polinomiales . Consulte también https://math.stackexchange.com/q/101453 para el comentario de M. Emerton.
- Berline, Nicole; Getzler, E .; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag