Un gráfico de Erdős-Diofantino es un objeto en el tema matemático de las ecuaciones diofánticas que consiste en un conjunto de puntos enteros a distancias enteras en el plano que no se pueden extender por ningún punto adicional. De manera equivalente, se puede describir como un gráfico completo con vértices ubicados en la cuadrícula de cuadrados enteros de modo que todas las distancias mutuas entre los vértices son números enteros, mientras que todos los demás puntos de la cuadrícula tienen una distancia no entera a al menos un vértice.
Las gráficas Erdős-Diofantinas llevan el nombre de Paul Erdős y Diofanto de Alejandría . Forman un subconjunto del conjunto de figuras diofánticas , que se definen como gráficos completos en el plano diofántico para los que la longitud de todos los bordes son números enteros ( gráficos de distancia unitaria ). Por lo tanto, las gráficas de Erdős-Diofantinas son exactamente las figuras diofánticas que no se pueden extender. La existencia de gráficos de Erdős-Diofantino se deriva del teorema de Erdős-Anning , según el cual infinitas figuras Diofantinas deben ser colineales en el plano Diofantino. Por lo tanto, cualquier proceso de extender una figura diofántica no colineal agregando vértices debe eventualmente alcanzar una figura que ya no se pueda extender.
Ejemplos de
Cualquier conjunto de cero o un punto puede extenderse trivialmente, y cualquier conjunto diofántico de dos puntos puede extenderse por más puntos en la misma línea. Por lo tanto, todos los conjuntos Diofantinos con menos de tres nodos pueden extenderse, por lo que las gráficas Erdős-Diofantinas en menos de tres nodos no pueden existir.
Mediante una búsqueda numérica, Kohnert y Kurz (2007) han demostrado que existen gráficos Erdős- Diofantinos de tres nodos. El triángulo Erdős-Diofantino más pequeño se caracteriza por longitudes de borde de 2066, 1803 y 505. El siguiente triángulo más grande de Erdős-Diofantino tiene bordes 2549, 2307 y 1492. En ambos casos, la suma de las tres longitudes de borde es par. Brancheva ha demostrado que esta propiedad es válida para todos los triángulos Erdős-Diofantinos. De manera más general, la longitud total de cualquier camino cerrado en un gráfico Erdős-Diofantino es siempre par.
Un ejemplo de un gráfico Erdős-Diofantino de 4 nodos lo proporciona el gráfico completo formado por los cuatro nodos ubicados en los vértices de un rectángulo de lados 4 y 3.
Referencias
- Kohnert, Axel; Kurz, Sascha (2007), "A note on Erdős-Diophantine graphs and Diophantine carpet ", Mathematica Balkanica , New Series, 21 (1–2): 1–5, arXiv : math / 0511705 , MR 2350714
- Dimiev, Stancho; Markov, Krassimir (2002), "Enteros de Gauss y cifras diofánticas", Matemáticas y educación matemática , 31 : 88–95, arXiv : math / 0203061