El teorema de Erdős-Anning establece que un número infinito de puntos en el plano puede tener distancias enteras mutuas solo si todos los puntos se encuentran en una línea recta . Lleva el nombre de Paul Erdős y Norman H. Anning , quienes publicaron una prueba de ello en 1945. [1]
Racionalidad versus integralidad
Aunque no puede haber un conjunto infinito de puntos no colineales con distancias enteras, hay infinitos conjuntos de puntos no colineales cuyas distancias son números racionales . El problema de Erdős-Ulam (aún sin resolver) se pregunta si puede existir un conjunto denso de puntos en el plano a distancias racionales entre sí.
Para cualquier conjunto finito S de puntos a distancias racionales entre sí, es posible encontrar una semejante conjunto de puntos a distancias número entero de uno al otro, mediante la ampliación de S por un factor del mínimo común denominador de las distancias en S . Por lo tanto, existen conjuntos finitos arbitrariamente grandes de puntos no colineales con distancias enteras entre sí. Sin embargo, incluir más puntos en S puede hacer que el factor de expansión aumente, por lo que esta construcción no permite que conjuntos infinitos de puntos a distancias racionales se transformen en conjuntos infinitos de puntos a distancias enteras.
Prueba
Para probar el teorema de Erdős-Anning, es útil enunciarlo con más fuerza, proporcionando un límite concreto en el número de puntos en un conjunto con distancias enteras como una función de la distancia máxima entre los puntos. Más específicamente, si un conjunto de tres o más puntos no colineales tienen distancias enteras, todos a lo sumo algún número, entonces a lo sumo los puntos a distancias enteras se pueden agregar al conjunto.
Para ver esto, sean A , B y C tres miembros no colineales de un conjunto S de puntos con distancias enteras, todo como máximo, y deja , , y sean las tres distancias entre estos tres puntos. Deje X ser cualquier otro miembro del S . De la desigualdad del triángulo se sigue que es un número entero no negativo y como máximo . Para cada uno de losvalores enteros i en este rango, el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuaciónforma una hipérbola con A y B como sus focos, y X debe estar en uno de estoshipérbolas. Por un argumento simétrico, X también debe estar en uno de una familia dehipérbolas que tienen B y C como focos. Cada par de hipérbolas distintas, una definida por A y B y la segunda definida por B y C , puede cruzarse como máximo en cuatro puntos, y cada punto de S (incluidos A , B y C ) se encuentra en uno de estos puntos de intersección. . Hay como máximo puntos de intersección de pares de hipérbolas, y por lo tanto como máximo puntos en S .
Conjuntos de puntos máximos con distancias integrales
Una forma alternativa de enunciar el teorema es que un conjunto de puntos no colineales en el plano con distancias enteras solo se puede extender agregando un número finito de puntos adicionales, antes de que no se puedan agregar más puntos. Un conjunto de puntos con coordenadas enteras y distancias enteras, a los que no se pueden agregar más mientras se conservan ambas propiedades, forma un gráfico Erdős-Diofantino .
Referencias
- ^ Anning, Norman H .; Erdős, Paul (1945), "Distancias integrales" , Boletín de la American Mathematical Society , 51 (8): 598–600, doi : 10.1090 / S0002-9904-1945-08407-9.