En combinatoria aritmética , el teorema de Erdős-Szemerédi , probado por Paul Erdős y Endre Szemerédi en 1983, [1] establece que, para cada conjunto finito de números reales , al menos uno del conjunto de sumas por pares o el conjunto de productos por pares de los números del conjunto original forman un conjunto significativamente mayor. Más precisamente, se afirma la existencia de constantes positivas c y tal que
siempre que A es un conjunto finito no vacío de números reales de cardinalidad | A |, dondees el conjunto de la suma de A consigo mismo, y.
Es posible que A + A tenga un tamaño comparable a A si A es una progresión aritmética , y es posible que A · A tenga un tamaño comparable a A si A es una progresión geométrica . Por tanto, el teorema de Erdős-Szemerédi puede verse como una afirmación de que no es posible que un conjunto grande se comporte como una progresión aritmética y como una progresión geométrica simultáneamente. También puede verse como una afirmación de que la línea real no contiene ningún conjunto que se parezca a un subanillo finito o un subcampo finito; es el primer ejemplo de lo que ahora se conoce como el fenómeno de la suma del producto , que ahora se sabe que se da en una amplia variedad de anillos y campos, incluidos los campos finitos. [2]
Erdős y Szemerédi conjeturaron que uno puede tomar arbitrariamente cerca de 1. El mejor resultado en esta dirección actualmente es de George Shakan, [3] quien demostró que uno puede tomar arbitrariamente cerca de . Previamente, Misha Rudnev, Ilya Shkredov y Sophie Stevens habían demostrado que uno puede tomar arbitrariamente cerca de , [4] mejorando un resultado anterior de József Solymosi , [5] quien había demostrado que uno puede llevarlo arbitrariamente cerca de .
enlaces externos
- Hartnett, Kevin (6 de febrero de 2019). "Cómo una cuadrícula extraña revela conexiones ocultas entre números simples" . Revista Quanta .
Referencias
- ^ Erdős, Paul ; Szemerédi, Endre (1983), "Sobre sumas y productos de números enteros" (PDF) , Estudios en Matemática Pura. A la memoria de Paul Turán , Basilea: Birkhäuser Verlag, págs. 213–218, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5438-2_19 , ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 0820223.
- ^ Tao, Terence (2009), "El fenómeno de suma-producto en anillos arbitrarios", Contribuciones a las matemáticas discretas , 4 (2): 59–82, arXiv : 0806.2497 , Bibcode : 2008arXiv0806.2497T , hdl : 10515 / sy5r78637 , MR 2592424.
- ^ Shakan, George (2018). "Sobre las descomposiciones de mayor energía y el fenómeno de la suma del producto". arXiv : 1803.04637 [ math.NT ].
- ^ Rudnev, Misha; Shkredov, Ilya D .; Stevens, Sophie (2016). "Sobre la variante energética de la conjetura del producto suma". arXiv : 1607.05053 [ math.CO ].
- ^ Solymosi, József (2009), "Limitar la energía multiplicativa por el conjunto", Advances in Mathematics , 222 (2): 402–408, arXiv : 0806.1040 , doi : 10.1016 / j.aim.2009.04.006 , MR 2538014.