En matemáticas, la combinatoria aritmética es un campo en la intersección de la teoría de números , la combinatoria , la teoría ergódica y el análisis armónico .
Alcance
La combinatoria aritmética se trata de estimaciones combinatorias asociadas con operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). La combinatoria aditiva es el caso especial cuando solo están involucradas las operaciones de suma y resta.
Ben Green explica la combinatoria aritmética en su revisión de "Combinatoria aditiva" de Tao y Vu . [1]
Resultados importantes
Teorema de Szemerédi
El teorema de Szemerédi es un resultado de la combinatoria aritmética sobre progresiones aritméticas en subconjuntos de números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron [2] que todo conjunto de números enteros A con densidad natural positiva contiene una progresión aritmética de k términos para cada k . Esta conjetura, que se convirtió en el teorema de Szemerédi, generaliza el enunciado del teorema de van der Waerden .
Teorema y extensiones de Green-Tao
El teorema de Green-Tao , probado por Ben Green y Terence Tao en 2004, [3] establece que la secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas . En otras palabras, existen progresiones aritméticas de primos, con k términos, donde k puede ser cualquier número natural. La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi .
En 2006, Terence Tao y Tamar Ziegler ampliaron el resultado para cubrir progresiones polinómicas. [4] Más precisamente, dado cualquier polinomio de valor entero P 1 , ..., P k en un m desconocido todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x , m tales que x + P 1 ( m ) ,. .., x + P k ( m ) son simultáneamente primos. El caso especial cuando los polinomios son m , 2 m , ..., km implica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de longitud k de primos.
Teorema de Breuillard-Green-Tao
El teorema de Breuillard-Green-Tao, probado por Emmanuel Breuillard , Ben Green y Terence Tao en 2011, [5] da una clasificación completa de grupos aproximados. Este resultado puede verse como una versión no beliana del teorema de Freiman y una generalización del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial .
Ejemplo
Si A es un conjunto de N enteros, cuán grande o pequeña lata del sumset
el conjunto de diferencias
y el conjunto de productos
ser, y cmo se relacionan los tamaos de estos conjuntos? (No debe confundirse: los términos conjunto de diferencias y conjunto de productos pueden tener otros significados).
Extensiones
Los conjuntos que se estudian también pueden ser subconjuntos de estructuras algebraicas distintas de los números enteros, por ejemplo, grupos , anillos y campos . [6]
Ver también
- Teoría de números aditivos
- Grupo aproximado
- Teorema de las esquinas
- Teoría ergódica de Ramsey
- Problemas que involucran progresiones aritméticas
- Densidad de Schnirelmann
- Lema de Shapley-Folkman
- Conjunto de Sidón
- Conjunto libre de suma
Notas
- ^ Green, Ben (julio de 2009). "Reseñas de libros: combinatoria aditiva, por Terence C. Tao y Van H. Vu" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 46 (3): 489–497. doi : 10.1090 / s0273-0979-09-01231-2 .
- ^ Erdős, Paul ; Turán, Paul (1936). "Sobre algunas secuencias de enteros" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 11 (4): 261-264. doi : 10.1112 / jlms / s1-11.4.261 . Señor 1574918 ..
- ^ Green, Ben ; Tao, Terence (2008). "Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas". Annals of Mathematics . 167 (2): 481–547. arXiv : matemáticas.NT / 0404188 . doi : 10.4007 / annals.2008.167.481 . Señor 2415379 ..
- ^ Tao, Terence ; Ziegler, Tamar (2008). "Los números primos contienen progresiones polinómicas arbitrariamente largas". Acta Mathematica . 201 (2): 213-305. arXiv : matemáticas.NT / 0610050 . doi : 10.1007 / s11511-008-0032-5 . Señor 2461509 ..
- ^ Breuillard, Emmanuel ; Green, Ben ; Tao, Terence (2012). "La estructura de grupos aproximados". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 116 : 115-221. arXiv : 1110.5008 . doi : 10.1007 / s10240-012-0043-9 . Señor 3090256 ..
- ^ Bourgain, Jean; Katz, Nets; Tao, Terence (2004). "Una estimación de producto de suma en campos finitos y aplicaciones". Análisis geométrico y funcional . 14 (1): 27–57. arXiv : matemáticas / 0301343 . doi : 10.1007 / s00039-004-0451-1 . Señor 2053599 .
Referencias
- Łaba, Izabella (2008). "Del análisis armónico a la combinatoria aritmética" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 45 (1): 77-115. doi : 10.1090 / S0273-0979-07-01189-5 .
- Combinatoria aditiva e informática teórica , Luca Trevisan, SIGACT News, junio de 2009
- Bibak, Khodakhast (2013). "Combinatoria aditiva con miras a la informática y la criptografía". En Borwein, Jonathan M .; Shparlinski, Igor E .; Zudilin, Wadim (eds.). Teoría de números y campos relacionados: en memoria de Alf van der Poorten . 43 . Nueva York: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. págs. 99-128. arXiv : 1108.3790 . doi : 10.1007 / 978-1-4614-6642-0_4 . ISBN 978-1-4614-6642-0.
- Problemas abiertos en combinatoria aditiva , E Croot, V Lev
- De las agujas rotativas a la estabilidad de las ondas: conexiones emergentes entre combinatoria, análisis y PDE , Terence Tao , avisos de AMS, marzo de 2001
- Tao, Terence ; Vu, Van H. (2006). Combinatoria aditiva . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 105 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-85386-9. Señor 2289012 . Zbl 1127.11002 .
- Granville, Andrew ; Nathanson, Melvyn B .; Solymosi, József , eds. (2007). Combinatoria aditiva . Actas de CRM y notas de conferencias. 43 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4351-2. Zbl 1124.11003 .
- Mann, Henry (1976). Teoremas de la suma: Los teoremas de la suma de la teoría de grupos y la teoría de números (reimpresión corregida de 1965 Wiley ed.). Huntington, Nueva York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de los números aditivos: las bases clásicas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 164 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. Señor 1395371 .
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de conjuntos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 165 . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Señor 1477155 .
Otras lecturas
- Algunos aspectos destacados de la combinatoria aritmética , recursos de Terence Tao
- Combinatoria aditiva: invierno de 2007 , K Soundararajan
- Conexiones más tempranas de combinatoria aditiva e informática , Luca Trevisan