En matemáticas , la dualidad de Esakia es la equivalencia dual entre la categoría de álgebras de Heyting y la categoría de espacios de Esakia . La dualidad de Esakia proporciona una representación topológica de orden de las álgebras de Heyting a través de los espacios de Esakia.
Dejemos que Esa denote la categoría de espacios de Esakia y morfismos de Esakia .
Deje H sea un álgebra de Heyting, X denota el conjunto de filtros principales de H , y ≤ inclusión de teoría de conjuntos denotan en los filtros principales de H . Además, para cada a ∈ H , sea φ ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x }, y sea τ la topología en X generada por { φ ( a ), X - φ ( a ): a ∈ H}.
Teorema: [1] ( X , τ , ≤) es un espacio Esakia, llamado el Esakia dual de H . Por otra parte, φ es un álgebra de Heyting isomorfismo de H sobre el álgebra de Heyting de todos abiertos y cerrados hasta conjuntos de ( X , τ , ≤) . Además, cada espacio de Esakia es isomórfico en Esa con el dual de Esakia de algún álgebra de Heyting.
Esta representación de las álgebra de Heyting por medio de espacios Esakia es funtorial y produce una doble equivalencia entre las categorías
- HA de álgebras de Heyting y homomorfismos de álgebra de Heyting
y
- Espacios de Esa de Esakia y morfismos de Esakia.
Referencias
- ↑ a b Esakia, Leo (1974). "Modelos topológicos de Kripke". Matemáticas soviéticas . 15 (1): 147-151.
- ^ Esakia, L (1985). "Heyting Álgebras I. Teoría de la dualidad". Metsniereba, Tbilisi .
- ^ Bezhanishvili, N. (2006). Celosías de lógicas modales intermedias y cilíndricas (PDF) . Instituto de Ámsterdam para Lógica, Lenguaje y Computación (ILLC). ISBN 978-90-5776-147-8.