En matemáticas , la teoría de la dualidad para celosías distributivas proporciona tres representaciones diferentes (pero estrechamente relacionadas) de celosías distributivas limitadas a través de espacios de Priestley , espacios espectrales y espacios de Stone por pares . Esta dualidad, que originalmente también se debe a Marshall H. Stone , [1] generaliza la bien conocida dualidad de Stone entre los espacios de Stone y las álgebras de Boole .
Let L un retículo distributivo delimitada, y dejar que X denota el conjunto de filtros principales de L . Para cada a ∈ L , sea φ + ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x } . Entonces ( X , τ + ) es un espacio espectral, [2] donde la topología τ + en X es generada por { φ + ( a): a ∈ L } . El espacio espectral ( X , τ + ) se llama el espectro prime de L .
El mapa φ + es un isomorfismo de red de L a la red de todos los subconjuntos abiertos compactos de ( X , τ + ) . De hecho, cada espacio espectral es homeomórfico al espectro principal de alguna red distributiva acotada. [3]
De manera similar, si φ - ( a ) = { x ∈ X : a ∉ x } y τ - denota la topología generada por { φ - ( a ): a ∈ L } , entonces ( X , τ - ) también es un espacio espectral . Además, ( X , τ + , τ - ) es un espacio de Stone por pares . El espacio de piedra por pares ( X , τ + , τ - ) se llama el bitopological dual de L . Cada espacio de Stone por pares es bi-homeomorfo al dual bitopológico de alguna red distributiva acotada. [4]
Finalmente, sea ≤ la inclusión de la teoría de conjuntos en el conjunto de filtros primos de L y sea τ = τ + ∨ τ - . Entonces ( X , τ , ≤) es un espacio de Priestley . Por otra parte, φ + es un isomorfismo de celosía de L sobre la celosía de todos abiertos y cerrados hasta conjuntos de ( X , τ , ≤) . El espacio Priestley ( X , τ , ≤) se llama la Priestley dual de L . Cada espacio de Priestley es isomorfo al dual de Priestley de algún retículo distributivo acotado. [5]
Dejemos que Dist denote la categoría de redes distributivas acotadas y homomorfismos de celosía acotada . Luego, las tres representaciones anteriores de celosías distributivas limitadas se pueden extender a la equivalencia dual [6] entre Dist y las categorías Spec , PStone y Pries de espacios espectrales con mapas espectrales, de espacios de Stone por pares con mapas bi-continuos y de espacios de Priestley. con morfismos de Priestley, respectivamente:
Por lo tanto, hay tres formas equivalentes de representar redes distributivas acotadas. Cada uno tiene su propia motivación y ventajas, pero en última instancia, todos tienen el mismo propósito de proporcionar una mejor comprensión de las redes distributivas limitadas.
Ver también
Notas
Referencias
- Priestley, HA (1970). Representación de celosías distributivas mediante espacios Stone ordenados. Toro. London Math. Soc. , (2) 186-190.
- Priestley, HA (1972). Espacios topológicos ordenados y representación de celosías distributivas. Proc. London Math. Soc. , 24 (3) 507–530.
- Stone, M. (1938). Representación topológica de celosías distributivas y lógicas brouwerianas. Plaga de Casopis. Estera. Fys., 67 1–25.
- Cornish, WH (1975). Sobre el dual de H. Priestley de la categoría de celosías distributivas acotadas. Estera. Vesnik , 12 (27) (4) 329–332.
- M. Hochster (1969). Estructura ideal primaria en anillos conmutativos. Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 142 43–60
- Johnstone, PT (1982). Espacios de piedra . Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge. ISBN 0-521-23893-5 .
- Jung, A. y Moshier, MA (2006). Sobre la naturaleza bitopológica de la dualidad de Stone. Informe técnico CSR-06-13 , Facultad de Ciencias de la Computación, Universidad de Birmingham.
- Bezhanishvili, G., Bezhanishvili, N., Gabelaia, D., Kurz, A. (2010). Dualidad bititopológica para celosías distributivas y álgebras de Heyting. Estructuras matemáticas en informática , 20.
- Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Espacios espectrales . Nuevas monografías matemáticas. 35 . Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017 / 9781316543870 . ISBN 9781107146723.