En topología , un conjunto abierto (un acrónimo de conjunto cerrado-abierto ) en un espacio topológico es un conjunto que es tanto abierto como cerrado . Que esto sea posible puede parecer contrario a la intuición, ya que los significados comunes de abierto y cerrado son antónimos, pero sus definiciones matemáticas no son mutuamente excluyentes . Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto, lo que deja la posibilidad de un conjunto abierto cuyo complemento también está abierto, haciendo que ambos conjuntos estén abiertos y cerrados y, por tanto, abiertos .
Ejemplos de
En cualquier espacio topológico X , el conjunto vacío y todo el espacio X están ambos abiertos. [1] [2]
Consideremos ahora el espacio X que consiste en la unión de las dos abiertas intervalos (0,1) y (2,3) de R . La topología en X se hereda como la topología del subespacio de la topología ordinaria en la recta real R . En X , el conjunto (0,1) está cerrado, al igual que el conjunto (2,3). Este es un ejemplo bastante típico: siempre que un espacio esté formado por un número finito de componentes conectados disjuntos de esta manera, los componentes estarán abiertos.
Ahora sea X un conjunto infinito bajo la métrica discreta, es decir, dos puntos p , q en X tienen una distancia 1 si no son el mismo punto y 0 en caso contrario. Bajo el espacio métrico resultante, cualquier conjunto singleton está abierto; por tanto, cualquier conjunto, al ser la unión de puntos únicos, está abierto. Dado que el complemento de cualquier conjunto es, por tanto, cerrado, todos los conjuntos en el espacio métrico están cerrados.
Como ejemplo menos trivial, considere el espacio Q de todos los números racionales con su topología ordinaria y el conjunto A de todos los números racionales positivos cuyo cuadrado es mayor que 2. Usando el hecho de queno está en Q , se puede demostrar fácilmente que A es un subconjunto abierto y cerrado de Q . ( A no es un subconjunto abierto de la línea real R ; no es ni abierto ni cerrado en R ).
Propiedades
- Un espacio topológico X está conectado si y sólo si los conjuntos solamente abiertos y cerrados son el conjunto vacío y X .
- Un conjunto está cerrado si y solo si su límite está vacío. [3]
- Cualquier conjunto cerrado es una unión de (posiblemente infinitos) componentes conectados .
- Si todos los componentes conectados de X están abiertos (por ejemplo, si X solo tiene un número finito de componentes, o si X está conectado localmente ), entonces un conjunto está abierto en X si y solo si es una unión de componentes conectados.
- Un espacio topológico X es discreto si y solo si todos sus subconjuntos están cerrados.
- Usando la unión y la intersección como operaciones, los subconjuntos cerrados de un espacio topológico dado X forman un álgebra booleana . Cada álgebra booleana se puede obtener de esta manera a partir de un espacio topológico adecuado: ver el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas .
Notas
- ^ Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (1992) [1982]. Introducción al análisis real (2ª ed.). John Wiley & Sons, Inc. pág. 348. (con respecto a los números reales y el conjunto vacío en R)
- ^ Hocking, John G .; Young, Gail S. (1961). Topología . NY: Publicaciones de Dover, Inc. p. 56. (respecto a espacios topológicos)
- ^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 87. ISBN 0-486-66352-3.
Sea A un subconjunto de un espacio topológico. Demuestre que Bdry ( A ) = ∅ si y solo si A está abierto y cerrado.
(Dado como ejercicio 7)
Referencias
- Morris, Sidney A. "Topología sin lágrimas" . Archivado desde el original el 19 de abril de 2013.