Polinomios de Bernoulli
En matemáticas , los polinomios de Bernoulli , llamados así por Jacob Bernoulli , combinan los números de Bernoulli y los coeficientes binomiales . Se utilizan para la expansión en serie de funciones y con la fórmula de Euler-MacLaurin .
Estos polinomios ocurren en el estudio de muchas funciones especiales y, en particular, la función zeta de Riemann y la función zeta de Hurwitz . Son una secuencia de Appell (es decir, una secuencia de Sheffer para el operador derivado ordinario ). Para los polinomios de Bernoulli, el número de cruces del eje x en el intervalo unitario no aumenta con el grado . En el límite de gran grado, se aproximan, cuando se escalan adecuadamente, a las funciones seno y coseno .
Los polinomios de Bernoulli B n se pueden definir mediante una función generadora . También admiten una variedad de representaciones derivadas.
donde D = d / dx es la diferenciación con respecto ax y la fracción se expande como una serie de potencia formal . Resulta que
Eso es similar a la expresión en serie de la función zeta de Hurwitz en el plano complejo. De hecho, existe la relación
donde ζ ( s , q ) es la función zeta de Hurwitz. Este último generaliza los polinomios de Bernoulli, lo que permite valores no enteros de n .
