En matemáticas , la función zeta de Hurwitz , que lleva el nombre de Adolf Hurwitz , es una de las muchas funciones zeta . Se define formalmente para argumentos complejos s con Re ( s )> 1 yq con Re ( q )> 0 por
Función zeta de Hurwitz correspondiente a q = 1/3 . Se genera como un diagrama de Matplotlib utilizando una versión del método de coloración de dominio . [1]
Continuación analítica
Función zeta de Hurwitz correspondiente a q = 24/25 .
Si la función zeta de Hurwitz se puede definir mediante la ecuación
donde el contornoes un bucle alrededor del eje real negativo. Esto proporciona una continuación analítica de.
que es válido para números enteros N y s arbitrarios . Véase también la fórmula de Faulhaber para una relación similar sobre sumas finitas de potencias de números enteros.
sostiene para y z complejo, pero no un número entero. Para z = n un número entero, esto se simplifica a
donde ζ aquí es la función zeta de Riemann . Tenga en cuenta que esta última forma es la ecuación funcional para la función zeta de Riemann, tal como la dio originalmente Riemann. La distinción basada en que z es un número entero o no explica el hecho de que la función theta de Jacobi converge a la función delta periódica , o el peine de Dirac en z como.
Relación con Dirichlet L -Funciones
En argumentos racionales, la función zeta de Hurwitz puede expresarse como una combinación lineal de funciones L de Dirichlet y viceversa: La función zeta de Hurwitz coincide con la función zeta de Riemann ζ ( s ) cuando q = 1, cuando q = 1/2 es igual a (2 s −1) ζ ( s ), [6] y si q = n / k con k > 2, ( n , k )> 1 y 0 < n < k , entonces [7]
la suma de todos los caracteres de Dirichlet mod k . En la dirección opuesta tenemos la combinación lineal [6]
También existe el teorema de la multiplicación
de la cual una generalización útil es la relación de distribución [8]
(Esta última forma es válida siempre que q sea un número natural y 1 - qa no lo sea).
Ceros
Si q = 1, la función zeta de Hurwitz se reduce a la propia función zeta de Riemann ; si q = 1/2 se reduce a la función zeta de Riemann multiplicada por una función simple del argumento complejo s ( vide supra ), lo que lleva en cada caso al difícil estudio de los ceros de la función zeta de Riemann. En particular, no habrá ceros con una parte real mayor o igual a 1. Sin embargo, si 0 < q <1 yq ≠ 1/2, entonces hay ceros de la función zeta de Hurwitz en la tira 1 s ) <1 + ε para cualquier número real positivo ε. Esto fue probado por Davenport y Heilbronn para q irracional racional o trascendental , [9] y Cassels para q irracional algebraico . [6] [10]
Valores racionales
La función zeta de Hurwitz ocurre en una serie de identidades sorprendentes en valores racionales. [11] En particular, los valores en términos de los polinomios de Euler :
y
Uno tambien tiene
que se mantiene para . Aquí el y se definen mediante la función chi de Legendre como
y
Para valores enteros de ν, estos pueden expresarse en términos de polinomios de Euler. Estas relaciones pueden derivarse empleando la ecuación funcional junto con la fórmula de Hurwitz, dada anteriormente.
Aplicaciones
La función zeta de Hurwitz ocurre en una variedad de disciplinas. Más comúnmente, ocurre en la teoría de números , donde su teoría es la más profunda y desarrollada. Sin embargo, también ocurre en el estudio de fractales y sistemas dinámicos . En las estadísticas aplicadas , ocurre en la ley de Zipf y la ley de Zipf-Mandelbrot . En física de partículas , ocurre en una fórmula de Julian Schwinger , [12] dando un resultado exacto para la tasa de producción de pares de un electrón de Dirac en un campo eléctrico uniforme.
Casos especiales y generalizaciones
La función zeta de Hurwitz con un entero positivo m está relacionada con la función poligamma :
Para el entero negativo - n, los valores están relacionados con los polinomios de Bernoulli : [13]
La función zeta de Barnes generaliza la función zeta de Hurwitz.
^ Hasse, Helmut (1930), "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe" , Mathematische Zeitschrift , 32 (1): 458–464, doi : 10.1007 / BF01194645 , JFM 56.0894.03
^Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Tres notas sobre las representaciones de Ser y Hasse para las funciones Zeta" . INTEGERS: La revista electrónica de teoría de números combinatorios . 18A : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Código bibliográfico : 2016arXiv160602044B .
^Blagouchine, IV (2014). "Un teorema para la evaluación de forma cerrada de la primera constante de Stieltjes generalizada en argumentos racionales y algunas sumas relacionadas". Revista de teoría de números . Elsevier. 148 : 537–592. arXiv : 1401,3724 . doi : 10.1016 / j.jnt.2014.08.009 .
^Vepstas, Linas (2007). "Un algoritmo eficiente para acelerar la convergencia de series oscilatorias, útil para calcular el polilogaritmo y las funciones zeta de Hurwitz". Algoritmos numéricos . 47 (3): 211–252. arXiv : matemáticas / 0702243 . Código Bibliográfico : 2008NuAlg..47..211V . doi : 10.1007 / s11075-007-9153-8 .
↑ a b c Davenport (1967) p.73
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^Cassels, JWS (1961), "Nota al pie de una nota de Davenport y Heilbronn", Journal of the London Mathematical Society , 36 (1): 177-184, doi : 10.1112 / jlms / s1-36.1.177 , Zbl 0097.03403
^ Dado por Cvijović, Djurdje & Klinowski, Jacek (1999), "Valores de las funciones de Legendre chi y Hurwitz zeta en argumentos racionales", Mathematics of Computation , 68 (228): 1623-1630, Bibcode : 1999MaCom..68.1623C , doi : 10.1090 / S0025-5718-99-01091-1
^Schwinger, J. (1951), "On gauge invariance and empty polarization", Physical Review , 82 (5): 664–679, Bibcode : 1951PhRv ... 82..664S , doi : 10.1103 / PhysRev.82.664
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Referencias
Apostol, TM (2010), "Función zeta de Hurwitz" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Consulte el capítulo 12 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Manual de funciones matemáticas , (1964) Publicaciones de Dover, Nueva York. ISBN 0-486-61272-4 . (Consulte el Párrafo 6.4.10 para conocer la relación con la función poligamma).
Davenport, Harold (1967). Teoría de números multiplicativos . Conferencias de matemáticas avanzadas. 1 . Chicago: Markham. Zbl 0159.06303 .
Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. (1998). "Derivadas de la función Zeta de Hurwitz para argumentos racionales" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 100 (2): 201–206. doi : 10.1016 / S0377-0427 (98) 00193-9 .
Vepstas, Linas. "El operador de Bernoulli, el operador de cableado Gauss-Kuzmin y el Riemann Zeta" (PDF) .
Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Serie hiperarmónica que implica la función zeta de Hurwitz". Revista de teoría de números . 130 (2): 360–369. doi : 10.1016 / j.jnt.2009.08.005 . hdl : 2437/90539 .
enlaces externos
Jonathan Sondow y Eric W. Weisstein. "Función Hurwitz Zeta" . MathWorld .