En el campo matemático de la geometría diferencial , el teorema de Euler es el resultado de la curvatura de las curvas en una superficie. El teorema establece la existencia de curvaturas principales y direcciones principales asociadas que dan las direcciones en las que la superficie se curva más y menos. El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler, quien demostró el teorema en ( Euler 1760 ).
Más precisamente, dejar que M sea una superficie en tres dimensiones el espacio euclidiano , y p un punto de M . Un plano normal a través de p es un plano que pasa a través del punto P que contiene el vector normal a M . A través de cada uno ( unidad ) vector tangente a M en p , no pasa un plano normal P X que corta una curva en M . Esa curva tiene una cierta curvatura κ X cuando se considera una curva dentro de PX . Siempre que no todos los κ X sean iguales, existe un vector unitario X 1 para el que k 1 = κ X 1 es lo más grande posible, y otro vector unitario X 2 para el que k 2 = κ X 2 es lo más pequeño posible. El teorema de Euler afirma que X 1 y X 2 son perpendiculares y que, además, si X es cualquier vector que forma un ángulo θ con X 1 , entonces
( 1 )
Las cantidades k 1 y k 2 se denominan curvaturas principales , y X 1 y X 2 son las direcciones principales correspondientes . La ecuación ( 1 ) a veces se denomina ecuación de Euler ( Eisenhart 2004 , p. 124).
Ver también
Referencias
- Eisenhart, Luther P. (2004), Tratado sobre la geometría diferencial de curvas y superficies , Dover, ISBN 0-486-43820-1 Texto completo de 1909 (ahora sin derechos de autor)
- Euler, Leonhard (1760), "Recherches sur la courbure des surface" , Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin (publicado en 1767), 16 : 119-143.
- Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial, Volumen II , Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-71-3