En geometría y teoría matemática de grupos , una red unimodular es una red integral de determinante 1 o −1. Para una red en un espacio euclidiano de n dimensiones, esto equivale a exigir que el volumen de cualquier dominio fundamental de la red sea 1.
Una red es unimodular si y solo si su doble red es integral. Las redes unimodulares son iguales a sus redes duales y, por esta razón, las redes unimodulares también se conocen como autoduales.
Dado un par ( m , n ) de enteros no negativos, existe un retículo unimodular par de firma ( m , n ) si y solo si mn es divisible por 8, pero siempre existe un retículo unimodular impar de firma ( m , n ). En particular, incluso las redes definidas unimodulares solo existen en una dimensión divisible por 8. Las construcciones II m,ny I m ,n , respectivamente, dan ejemplos en todas las firmas admisibles.
La función theta de una red definida positiva unimodular es una forma modular cuyo peso es la mitad del rango. Si la red es par, la forma tiene nivel 1, y si la red es impar, la forma tiene estructura Γ 0 (4) (es decir, es una forma modular de nivel 4). Debido al límite de dimensión en espacios de formas modulares, la norma mínima de un vector distinto de cero de una red unimodular par no es mayor que ⎣ n /24⎦ + 1. Una red unimodular par que alcanza este límite se denomina extremal. Se conocen celosías unimodulares pares extremas en dimensiones relevantes hasta 80, [1] y se ha demostrado su inexistencia para dimensiones superiores a 163.264. [2]
Para celosías indefinidas, la clasificación es fácil de describir. Escriba R m,n para el espacio vectorial dimensional m + n R m+n con el producto interno de ( a 1 , ..., a m + n ) y ( b 1 , ..., b m + n ) dado por
Esto viene dado por todos los vectores ( a 1 ,..., a m + n ) en R m , n tales que o todos los a i son enteros o son todos enteros más 1/2, y su suma es par. La red II 8,0 es igual a la red E 8 .