En matemáticas , la noción de expansividad formaliza la noción de puntos que se alejan unos de otros bajo la acción de una función iterada . La idea de expansividad es bastante rígida , como lo demuestra la definición de expansividad positiva, más adelante, así como el teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick .
Definición
Si es un espacio métrico , un homeomorfismo se dice que es expansivo si hay una constante
llamada constante de expansividad , de modo que para cada par de puntos en hay un entero tal que
Tenga en cuenta que en esta definición, puede ser positivo o negativo, por lo que puede ser expansivo hacia adelante o hacia atrás.
El espacio a menudo se asume que es compacto , ya que bajo ese supuesto la expansividad es una propiedad topológica; es decir, si es cualquier otra métrica que genere la misma topología que , y si es expansivo en , luego es expansivo en (posiblemente con una constante de expansividad diferente).
Si
es un mapa continuo, decimos que es positivamente expansivo (o expansivo hacia adelante ) si hay un
tal que, para cualquier en , hay un tal que .
Teorema de expansividad uniforme
Dado f un homeomorfismo expansivo de un espacio métrico compacto, el teorema de la expansividad uniforme establece que para cada y hay un tal que para cada par de puntos de tal que , hay un con tal que
dónde es la constante de expansividad de ( prueba ).
Discusión
La expansividad positiva es mucho más fuerte que la expansividad. De hecho, se puede probar que si es compacto y es un homeomorfismo positivamente expansivo, entonces es finito ( prueba ).
enlaces externos
- Sistemas dinámicos expansivos en scholarpedia
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