En matemáticas , una colección rígida C de objetos matemáticos (por ejemplo, conjuntos o funciones) es aquella en la que cada c ∈ C está determinado de forma única por menos información sobre c de la que cabría esperar.
La declaración anterior no define una propiedad matemática. En cambio, describe en qué sentido el adjetivo rígido se usa típicamente en matemáticas por los matemáticos.
Ejemplos de
Algunos ejemplos incluyen:
- Las funciones armónicas en el disco unitario son rígidas en el sentido de que están determinadas unívocamente por sus valores límite.
- Las funciones holomorfas están determinadas por el conjunto de todas las derivadas en un solo punto. Una función suave desde la línea real al plano complejo no está determinada, en general, por todas sus derivadas en un solo punto, pero lo es si requerimos adicionalmente que sea posible extender la función a una en una vecindad de la real. línea en el plano complejo. El lema de Schwarz es un ejemplo de tal teorema de rigidez.
- Según el teorema fundamental del álgebra , los polinomios en C son rígidos en el sentido de que cualquier polinomio está completamente determinado por sus valores en cualquier conjunto infinito , digamos N , o el disco unitario . En el ejemplo anterior, un polinomio también se determina dentro del conjunto de funciones holomórficas por el conjunto finito de sus derivadas distintas de cero en cualquier punto.
- Mapas lineal L ( X , Y ) entre espacios vectoriales X , Y son rígidos en el sentido de que cualquier L ∈ L ( X , Y ) se determina completamente por sus valores en cualquier conjunto de vectores de la base de X .
- Teorema de rigidez de Mostow , que establece que la estructura geométrica de las variedades curvadas negativamente está determinada por su estructura topológica.
- Un conjunto bien ordenado es rígido en el sentido de que el único automorfismo (que conserva el orden ) en él es la función de identidad. En consecuencia, un isomorfismo entre dos conjuntos bien ordenados dados será único.
- El teorema de Cauchy sobre la geometría de politopos convexos establece que un politopo convexo está determinado únicamente por la geometría de sus caras y las reglas de adyacencia combinatoria.
- El teorema de la unicidad de Alexandrov establece que un poliedro convexo en tres dimensiones está determinado únicamente por el espacio métrico de las geodésicas en su superficie.
- Los resultados de rigidez en la teoría K muestran isomorfismos entre varios grupos de teoría K algebraica .
Uso combinatorio
En combinatoria , el término rígido también se usa para definir la noción de una sobreyección rígida , que es una sobreyección. para lo cual se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: [1]
- Para cada , ;
- Considerando como un - tupla , las primeras apariciones de los elementos en están en orden creciente;
- mapea segmentos iniciales de a los segmentos iniciales de .
Esto se relaciona con la definición anterior de rígido, en el sentido de que cada sobreyección rígida define de forma única, y está definida de forma única por, una partición de dentro piezas. Dada una rígida sobreyección, la partición está definida por . Por el contrario, dada una partición de, ordenar el Dejando . Si es ahora el -partición ordenada, la función definido por es una rígida sobreyección.
Ver también
- Teorema de unicidad
- Rigidez estructural , una teoría matemática que describe los grados de libertad de conjuntos de objetos físicos rígidos conectados entre sí por bisagras flexibles.
- Estructura de niveles (geometría algebraica)
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Referencias
- ^ Prömel, Hans Jürgen; Voigt, Bernd (abril de 1986). "Atributos hereditarios de sobreyecciones y conjuntos de parámetros". Revista europea de combinatoria . 7 (2): 161-170. doi : 10.1016 / s0195-6698 (86) 80042-7 . ISSN 0195-6698 .