En probabilidad y estadística , la clase de modelos de dispersión exponencial ( EDM ) es un conjunto de distribuciones de probabilidad que representa una generalización de la familia exponencial natural . [1] [2] [3] Los modelos de dispersión exponencial juegan un papel importante en la teoría estadística , en particular en los modelos lineales generalizados porque tienen una estructura especial que permite hacer deducciones sobre la inferencia estadística apropiada .
Caso univariado
Hay dos versiones para formular un modelo de dispersión exponencial.
Modelo de dispersión exponencial aditiva
En el caso univariado, una variable aleatoria de valor real
pertenece al modelo de dispersión exponencial aditiva con parámetro canónico
y parámetro de índice
,
, si su función de densidad de probabilidad se puede escribir como
![{\displaystyle f_{X}(x|\theta ,\lambda )=h^{*}(\lambda ,x)\exp \left(\theta x-\lambda A(\theta )\right)\,\!.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Modelo de dispersión exponencial reproductiva
La distribución de la variable aleatoria transformada
se llama modelo de dispersión exponencial reproductiva ,
, y está dado por
![{\displaystyle f_{Y}(y|\mu ,\sigma ^{2})=h(\sigma ^{2},y)\exp \left({\frac {\theta y-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
y
, Insinuando
. El modelo de dispersión terminológica surge de interpretar
como parámetro de dispersión . Para parámetro fijo
, la
es una familia exponencial natural .
Caso multivariado
En el caso multivariado, la variable aleatoria n-dimensional
tiene una función de densidad de probabilidad de la siguiente forma [1]
![{\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }},\lambda )=h(\lambda ,\mathbf {x} )\exp \left(\lambda ({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }}))\right)\,\!,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde el parámetro
tiene la misma dimensión que
.
Función generadora de acumuladores
La función de generación acumulativa de
es dado por
![{\displaystyle K(t;\mu ,\sigma ^{2})=\log \operatorname {E} [e^{tY}]={\frac {A(\theta +\sigma ^{2}t)-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\,\!,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
Media y varianza
Media y varianza de
son dadas por
![{\displaystyle \operatorname {E} [Y]=\mu =A'(\theta )\,,\quad \operatorname {Var} [Y]=\sigma ^{2}A''(\theta )=\sigma ^{2}V(\mu )\,\!,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con función de variación unitaria
.
Reproductivo
Si
son iid con
, es decir, la misma media
y diferentes pesos
, la media ponderada es de nuevo un
con
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}Y_{i}}{w_{\bullet }}}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{\bullet }}}\right)\,\!,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
. Por lo tanto
se llaman reproductivos .
Desviación de la unidad
La función de densidad de probabilidad de un
también se puede expresar en términos de la desviación unitaria
como
![{\displaystyle f_{Y}(y|\mu ,\sigma ^{2})={\tilde {h}}(\sigma ^{2},y)\exp \left(-{\frac {d(y,\mu )}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la desviación de la unidad toma la forma especial
o en términos de la función de varianza unitaria como
.