En probabilidad y estadística , las distribuciones Tweedie son una familia de distribuciones de probabilidad que incluyen las distribuciones puramente continuas normal , gamma e inversa de Gauss , la distribución de Poisson escalada puramente discreta y la clase de distribuciones de Poisson-gamma compuestas que tienen masa positiva en cero. pero por lo demás son continuos. [1] Las distribuciones Tweedie son un caso especial de modelos de dispersión exponencial y se utilizan a menudo como distribuciones para modelos lineales generalizados . [2]
Las distribuciones Tweedie fueron nombradas por Bent Jørgensen [3] en honor a Maurice Tweedie , un estadístico y físico médico de la Universidad de Liverpool , Reino Unido, quien presentó el primer estudio completo de estas distribuciones en 1984. [1] [4] [2]
Definiciones
Los (reproductivas) distribuciones Tweedie se definen como subfamilia de (reproductivas) modelos exponenciales de dispersión (ED), con una especial media - varianza relación. Una variable aleatoria Y es Tweedie distribuida Tw p (μ, σ 2 ) , si con media , parámetro de dispersión positiva y
dónde se llama parámetro de potencia Tweedie. La distribución de probabilidad P θ, σ 2 en los conjuntos medibles A , está dada por
para alguna medida σ-finita ν λ . Esta representación utiliza el parámetro canónico θ de un modelo de dispersión exponencial y una función acumulativa
donde usamos , o equivalente .
Propiedades
Modelos de dispersión exponencial aditiva
Los modelos que acabamos de describir están en forma reproductiva. Un modelo de dispersión exponencial siempre tiene un dual: la forma aditiva. Si Y es reproductivo, entonces con está en la forma aditiva ED * ( θ , λ ), para Tweedie Tw * p (μ, λ) . Los modelos aditivos tienen la propiedad de que la distribución de la suma de variables aleatorias independientes,
para los cuales Z i ~ ED * ( θ , λ i ) con θ fijo y varios λ son miembros de la familia de distribuciones con el mismo θ ,
Modelos reproductivos de dispersión exponencial
Existe una segunda clase de modelos de dispersión exponencial designados por la variable aleatoria
donde σ 2 = 1 / λ , conocidos como modelos de dispersión exponencial reproductiva. Tienen la propiedad de que para n variables aleatorias independientes Y i ~ ED ( μ , σ 2 / w i ), con factores de ponderación w i y
un promedio ponderado de las variables da,
Para los modelos reproductivos, el promedio ponderado de las variables aleatorias independientes con μ y σ 2 fijos y varios valores para w i es un miembro de la familia de distribuciones con los mismos μ y σ 2 .
Los modelos de dispersión exponencial de Tweedie son aditivos y reproductivos; así tenemos la transformación de la dualidad
Invarianza de escala
Una tercera propiedad de los modelos Tweedie es que son invariantes de escala : para un modelo de dispersión exponencial reproductiva Tw p (μ, σ 2 ) y cualquier constante positiva c , tenemos la propiedad de cierre bajo transformación de escala,
La función de variación de potencia de Tweedie
Para definir la función de varianza para los modelos de dispersión exponencial utilizamos el mapeo del valor medio, la relación entre el parámetro canónico θ y la media μ . Está definido por la función
con función acumulativa . La función de varianza V ( μ ) se construye a partir del mapeo del valor medio,
Aquí, el exponente menos en τ −1 ( μ ) denota una función inversa en lugar de una recíproca. La media y la varianza de una variable aleatoria aditiva es entonces E ( Z ) = λμ y var ( Z ) = λV ( μ ).
La invariancia de escala implica que la función de varianza obedece a la relación V ( μ ) = μ p . [2]
La desviación de Tweedie
La desviación unitaria de una distribución reproductiva Tweedie está dada por
Las funciones generadoras acumulativas de Tweedie
Las propiedades de los modelos de dispersión exponencial nos dan dos ecuaciones diferenciales . [2] El primero relaciona el mapeo del valor medio y la función de varianza entre sí,
El segundo muestra cómo el mapeo del valor medio está relacionado con la función acumulativa ,
Estas ecuaciones se pueden resolver para obtener la función acumulativa para diferentes casos de los modelos Tweedie. A continuación, se puede obtener una función de generación acumulada (CGF) a partir de la función acumulada. El CGF aditivo generalmente se especifica mediante la ecuación
y el CGF reproductivo por
donde s es la variable de función generadora.
Para los modelos Tweedie aditivos, los CGF toman la forma,
y para los modelos reproductivos,
Los modelos Tweedie aditivo y reproductivo se denotan convencionalmente con los símbolos Tw * p ( θ , λ ) y Tw p ( θ , σ 2 ), respectivamente.
La primera y segunda derivadas de los CGF, con s = 0, arrojan la media y la varianza, respectivamente. Por tanto, se puede confirmar que para los modelos aditivos la varianza se relaciona con la media por la ley de potencia,
El teorema de convergencia Tweedie
Los modelos de dispersión exponencial Tweedie son fundamentales en la teoría estadística como consecuencia de su papel como focos de convergencia para una amplia gama de procesos estadísticos. Jørgensen et al demostraron un teorema que especifica el comportamiento asintótico de las funciones de varianza conocido como el teorema de convergencia Tweedie ". [5] Este teorema, en términos técnicos, se establece así: [2] La función de varianza unitaria es regular de orden p en cero (o infinito) siempre que V ( μ ) ~ c 0 μ p para μ cuando se acerca a cero (o infinito) para todos los valores reales de p y c 0 > 0. Luego, para una función de varianza unitaria regular de orden p en cero o infinito y para
para cualquier , y tenemos
como o , respectivamente, donde la convergencia es a través de valores de c tales que cμ está en el dominio de θ y c p −2 / σ 2 está en el dominio de λ . El modelo debe ser infinitamente divisible cuando c 2− p se acerca al infinito. [2]
En términos no técnicos, este teorema implica que cualquier modelo de dispersión exponencial que manifiesta asintóticamente una ley de potencia de varianza a media debe tener una función de varianza que se encuentre dentro del dominio de atracción de un modelo Tweedie. Casi todas las funciones de distribución con funciones generadoras acumulativas finitas califican como modelos de dispersión exponencial y la mayoría de los modelos de dispersión exponencial manifiestan funciones de varianza de esta forma. Por lo tanto, muchas distribuciones de probabilidad tienen funciones de varianza que expresan este comportamiento asintótico, y las distribuciones Tweedie se convierten en focos de convergencia para una amplia gama de tipos de datos. [6]
Distribuciones relacionadas
Las distribuciones Tweedie incluyen una serie de distribuciones familiares, así como algunas inusuales, cada una de las cuales está especificada por el dominio del parámetro de índice. Tenemos el
- distribución extremadamente estable, p <0,
- distribución normal , p = 0,
- Distribución de Poisson , p = 1,
- distribución compuesta de Poisson-gamma , 1 < p <2,
- distribución gamma , p = 2,
- distribuciones estables positivas , 2 < p <3,
- Distribución gaussiana inversa , p = 3,
- distribuciones estables positivas, p > 3, y
- distribuciones extremadamente estables, p = ∞ .
Para 0 < p <1 no existe ningún modelo Tweedie. Tenga en cuenta que todas las distribuciones estables significan realmente generadas por distribuciones estables .
Ocurrencia y aplicaciones
Los modelos Tweedie y la ley de potencia de Taylor
La ley de Taylor es una ley empírica en ecología que relaciona la varianza del número de individuos de una especie por unidad de área de hábitat con la media correspondiente mediante una relación potencia-ley . [7] Para el recuento de población Y con media µ y varianza var ( Y ), se escribe la ley de Taylor,
donde a y p son constantes positivas. Desde que LR Taylor describió esta ley en 1961, se han ofrecido muchas explicaciones diferentes para explicarla, que van desde el comportamiento animal, [7] un modelo de caminata aleatoria , [8] un modelo estocástico de nacimiento, muerte, inmigración y emigración , [9] a una consecuencia de la mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio . [10] No existe consenso en cuanto a una explicación para este modelo.
Dado que la ley de Taylor es matemáticamente idéntica a la ley de potencia de varianza a media que caracteriza a los modelos Tweedie, parecía razonable utilizar estos modelos y el teorema de convergencia Tweedie para explicar el agrupamiento observado de animales y plantas asociado con la ley de Taylor. [11] [12] La mayoría de los valores observados para el exponente de la ley de potencias p han caído en el intervalo (1,2), por lo que la distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie parecería aplicable. La comparación de la función de distribución empírica con la distribución teórica compuesta de Poisson-gamma ha proporcionado un medio para verificar la coherencia de esta hipótesis. [11]
Mientras que los modelos convencionales para la ley de Taylor han tendido a involucrar supuestos ad hoc de comportamiento animal o dinámicas de población , el teorema de convergencia de Tweedie implicaría que la ley de Taylor resulta de un efecto de convergencia matemática general tanto como el teorema del límite central gobierna el comportamiento de convergencia de ciertos tipos de datos aleatorios. De hecho, cualquier modelo matemático, aproximación o simulación que esté diseñado para producir la ley de Taylor (sobre la base de este teorema) debe converger a la forma de los modelos Tweedie. [6]
Convergencia tweedie y ruido 1 / f
El ruido rosa , o ruido 1 / f , se refiere a un patrón de ruido caracterizado por una relación de ley de potencia entre sus intensidades S ( f ) a diferentes frecuencias f ,
donde el exponente adimensional γ ∈ [0,1]. Se encuentra dentro de una diversidad de procesos naturales. [13] Existen muchas explicaciones diferentes para el ruido 1 / f , una hipótesis ampliamente sostenida se basa en la criticidad autoorganizada donde se cree que los sistemas dinámicos cercanos a un punto crítico manifiestan un comportamiento espacial y / o temporal invariante en la escala .
En esta subsección se describirá una conexión matemática entre el ruido 1 / f y la ley de potencia de varianza a media de Tweedie. Para comenzar, primero necesitamos introducir procesos auto-similares : Para la secuencia de números
con media
desviaciones
diferencia
y función de autocorrelación
con retraso k , si la autocorrelación de esta secuencia tiene el comportamiento de largo alcance
cuando k → ∞ y donde L ( k ) es una función que varía lentamente con valores grandes de k , esta secuencia se denomina proceso auto-similar. [14]
El método de expansión de contenedores se puede utilizar para analizar procesos auto-similares. Considere un conjunto de contenedores no superpuestos de igual tamaño que divide la secuencia original de N elementos en grupos de m segmentos de igual tamaño ( N / m es un número entero) para que se puedan definir nuevas secuencias reproductivas, basadas en los valores medios:
La varianza determinada a partir de esta secuencia se escalará a medida que cambie el tamaño del contenedor
si y solo si la autocorrelación tiene la forma limitante [15]
También se puede construir un conjunto de secuencias aditivas correspondientes
basado en los contenedores de expansión,
Siempre que la función de autocorrelación exhiba el mismo comportamiento, las secuencias aditivas obedecerán la relación
Desde y son constantes, esta relación constituye una ley de potencia de varianza a media, con p = 2 - d . [6] [16]
La relación bicondicional anterior entre la ley de potencia de varianza a media y la función de autocorrelación de la ley de potencia, y el teorema de Wiener-Khinchin [17] implica que cualquier secuencia que exhiba una ley de potencia de varianza a media por el método de expansión de bins también manifiestan ruido 1 / f , y viceversa. Además, el teorema de convergencia de Tweedie, en virtud de su efecto de tipo límite central de generar distribuciones que manifiestan funciones de potencia de varianza a media, también generará procesos que manifiestan ruido 1 / f . [6] El teorema de convergencia Tweedie proporciona una explicación alternativa para el origen del ruido 1 / f , basado en su efecto de límite central.
Así como el teorema del límite central requiere que ciertos tipos de procesos aleatorios tengan como foco de su convergencia la distribución gaussiana y por lo tanto expresen ruido blanco , el teorema de convergencia Tweedie requiere que ciertos procesos no gaussianos tengan como foco de convergencia las distribuciones Tweedie que Expresar ruido 1 / f . [6]
Los modelos Tweedie y la multifractalidad
A partir de las propiedades de los procesos auto-similares, el exponente de la ley de potencias p = 2 - d está relacionado con el exponente de Hurst H y la dimensión fractal D por [15]
Una secuencia de datos de una sola dimensión de los datos de auto-similar puede demostrar una ley de potencia-varianza-a media con variaciones locales en el valor de p y por lo tanto en el valor de D . Cuando las estructuras fractales manifiestan variaciones locales en la dimensión fractal, se dice que son multifractales . Ejemplos de secuencias de datos que exhiben variaciones locales en p como esta incluyen las desviaciones de valores propios de los conjuntos unitarios y ortogonales gaussianos . [6] La distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie ha servido para modelar la multifractalidad basada en variaciones locales en el exponente α de Tweedie . En consecuencia, junto con la variación de α , se puede considerar que el teorema de convergencia Tweedie tiene un papel en la génesis de tales multifractales.
Se ha encontrado que la variación de α obedece a la distribución asimétrica de Laplace en ciertos casos. [18] Se ha demostrado que esta distribución es un miembro de la familia de modelos geométricos Tweedie, [19] que se manifiestan como distribuciones limitantes en un teorema de convergencia para modelos de dispersión geométrica.
Flujo sanguíneo de órganos regionales
El flujo sanguíneo de órganos regionales se ha evaluado tradicionalmente mediante la inyección de microesferas de polietileno radiomarcadas en la circulación arterial de animales, de un tamaño que quedan atrapadas dentro de la microcirculación de órganos. A continuación, el órgano que se va a evaluar se divide en cubos de igual tamaño y la cantidad de radiomarcaje dentro de cada cubo se evalúa mediante recuento de centelleo líquido y se registra. La cantidad de radiactividad dentro de cada cubo se toma para reflejar el flujo sanguíneo a través de esa muestra en el momento de la inyección. Es posible evaluar cubos adyacentes de un órgano para determinar aditivamente el flujo sanguíneo a través de regiones más grandes. A través del trabajo de JB Bassingthwaighte y otros, se ha derivado una ley de potencia empírica entre la dispersión relativa del flujo sanguíneo de muestras de tejido ( RD = desviación estándar / media) de masa m en relación con muestras de tamaño de referencia: [20]
Este exponente de la ley de potencias D s se ha denominado dimensión fractal. Se puede demostrar que la ley de potencia de Bassingthwaighte se relaciona directamente con la ley de potencia de varianza a media. El flujo sanguíneo de órganos regionales puede ser modelado por la distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie., [21] En este modelo, la muestra de tejido podría considerarse que contiene un número distribuido aleatorio (Poisson) de sitios de atrapamiento, cada uno con flujo sanguíneo distribuido gamma . Se ha observado que el flujo sanguíneo a este nivel microcirculatorio obedece a una distribución gamma, [22] lo que apoya esta hipótesis.
Metástasis de cáncer
El " ensayo experimental de metástasis del cáncer " [23] tiene cierta semejanza con el método anterior para medir el flujo sanguíneo regional. A los grupos de ratones singénicos y de la misma edad se les administran inyecciones intravenosas de alícuotas de igual tamaño de suspensiones de células cancerosas clonadas y luego, después de un período de tiempo determinado, se extirpan sus pulmones y se enumera el número de metástasis cancerosas dentro de cada par de pulmones. Si a otros grupos de ratones se les inyectan diferentes clones de células cancerosas , entonces el número de metástasis por grupo diferirá de acuerdo con los potenciales metastásicos de los clones. Se ha reconocido desde hace mucho tiempo que puede haber una variación intraclonal considerable en el número de metástasis por ratón a pesar de los mejores intentos de mantener uniformes las condiciones experimentales dentro de cada grupo clonal. [23] Esta variación es mayor de lo que cabría esperar sobre la base de una distribución de Poisson del número de metástasis por ratón en cada clon y cuando la varianza del número de metástasis por ratón se trazó contra la media correspondiente, se encontró una ley de potencia. [24]
Se encontró que la ley de varianza a potencia media para las metástasis también es válida para las metástasis murinas espontáneas [25] y para las series de casos de metástasis humanas. [26] Dado que la metástasis hematógena ocurre en relación directa con el flujo sanguíneo regional [27] y los estudios videomicroscópicos indican que el paso y atrapamiento de células cancerosas dentro de la circulación parece análogo a los experimentos de microesferas [28] , parecía plausible proponer que la variación en el número de metástasis hematógenas podría reflejar heterogeneidad en el flujo sanguíneo de órganos regionales. [29] El modelo de flujo sanguíneo se basó en la distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie, una distribución que gobierna una variable aleatoria continua. Por esa razón, en el modelo de metástasis se asumió que el flujo sanguíneo se regía por esa distribución y que el número de metástasis regionales ocurría como un proceso de Poisson para el cual la intensidad era directamente proporcional al flujo sanguíneo. Esto llevó a la descripción de la distribución binomial negativa de Poisson (PNB) como un equivalente discreto a la distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie. La función generadora de probabilidad para la distribución PNB es
La relación entre la media y la varianza de la distribución PNB es entonces
que, en el rango de muchos ensayos experimentales de metástasis, sería indistinguible de la ley de potencia de varianza a media. Sin embargo, para datos escasos, esta relación discreta entre varianza y media se comportaría más como la de una distribución de Poisson donde la varianza es igual a la media.
Estructura y evolución genómica
La densidad local de polimorfismos de nucleótido único (SNP) dentro del genoma humano , así como la de los genes , parece agruparse de acuerdo con la ley de potencia de varianza a media y la distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie. [30] [31] En el caso de los SNP, su densidad observada refleja las técnicas de evaluación, la disponibilidad de secuencias genómicas para el análisis y la heterocigosidad de nucleótidos . [32] Los dos primeros factores reflejan errores de verificación inherentes a los métodos de recolección, el último factor refleja una propiedad intrínseca del genoma.
En el modelo coalescente de genética de poblaciones, cada locus genético tiene su propia historia única. Dentro de la evolución de una población de algunas especies, algunos loci genéticos presumiblemente podrían remontarse a un ancestro común relativamente reciente, mientras que otros loci podrían tener genealogías más antiguas . Los segmentos genómicos más antiguos habrían tenido más tiempo para acumular SNP y experimentar la recombinación . RR Hudson ha propuesto un modelo en el que la recombinación podría causar variación en el tiempo hasta el ancestro reciente más común para diferentes segmentos genómicos. [33] Una alta tasa de recombinación podría causar que un cromosoma contenga una gran cantidad de segmentos pequeños con genealogías menos correlacionadas.
Suponiendo una tasa de mutación de fondo constante, el número de SNP por segmento genómico se acumularía proporcionalmente al tiempo hasta el ancestro común más reciente. La teoría genética de poblaciones actual indicaría que estos tiempos estarían distribuidos en gamma , en promedio. [34] La distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie sugeriría un modelo en el que el mapa SNP consistiría en múltiples segmentos genómicos pequeños con el número medio de SNP por segmento con distribución gamma según el modelo de Hudson.
La distribución de genes dentro del genoma humano también demostró una ley de potencia de varianza a media, cuando se utilizó el método de expansión de contenedores para determinar las correspondientes varianzas y medias. [31] De manera similar, se encontró que el número de genes por grupo enumerativo obedece a una distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie. Esta distribución de probabilidad se consideró compatible con dos modelos biológicos diferentes: el modelo de microarreglo en el que el número de genes por unidad de longitud genómica se determinó mediante la suma de un número aleatorio de segmentos genómicos más pequeños derivados por rotura aleatoria y reconstrucción de protocormosomas. Se supondría que estos segmentos más pequeños portan en promedio un número de genes distribuidos en gamma.
En el modelo de agrupamiento de genes alternativo , los genes se distribuirían aleatoriamente dentro de los protocromosomas. En grandes escalas de tiempo evolutivas se producirían duplicaciones en tándem , mutaciones, inserciones, deleciones y reordenamientos que podrían afectar a los genes a través de un proceso estocástico de nacimiento, muerte e inmigración para producir la distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie.
Ambos mecanismos implicarían procesos evolutivos neutrales que darían como resultado la agrupación regional de genes.
Teoría de matrices aleatorias
El conjunto unitario gaussiano (GUE) consta de matrices hermitianas complejas que son invariantes bajo transformaciones unitarias, mientras que el conjunto ortogonal gaussiano (GOE) consta de matrices simétricas reales invariantes bajo transformaciones ortogonales . Los valores propios clasificados E n de estas matrices aleatorias obedecen a la distribución semicircular de Wigner : para una matriz N × N , la densidad media para los valores propios de tamaño E será
como E → ∞ . La integración de la regla semicircular proporciona el número de valores propios en promedio menor que E ,
Los valores propios clasificados se pueden desplegar o renormalizar con la ecuación
Esto elimina la tendencia de la secuencia de la porción fluctuante. Si miramos el valor absoluto de la diferencia entre el número acumulado real y esperado de valores propios
obtenemos una secuencia de fluctuaciones de valores propios que, utilizando el método de expansión de bins, revela una ley de potencia de varianza a media. [6] Las fluctuaciones de los valores propios de GUE y GOE manifiestan esta ley de potencia con los exponentes de la ley de potencia que oscilan entre 1 y 2, y de manera similar manifiestan espectros de ruido 1 / f . Estas fluctuaciones de los valores propios también corresponden a la distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie y exhiben multifractalidad. [6]
La distribución de números primos
La segunda función de Chebyshev ψ ( x ) está dada por,
donde la suma se extiende sobre todos los poderes primos que no exceda x , x pasa por encima de los números reales positivos, yes la función de von Mangoldt . La función ψ ( x ) está relacionada con la función de conteo de primos π ( x ) y, como tal, proporciona información con respecto a la distribución de números primos entre los números reales. Es asintótica ax , un enunciado equivalente al teorema de los números primos y también se puede demostrar que está relacionado con los ceros de la función zeta de Riemann ubicada en la franja crítica ρ , donde la parte real del cero zeta ρ está entre 0 y 1. Entonces ψ expresado para x mayor que uno se puede escribir:
dónde
La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real ½. Estos ceros de la función zeta están relacionados con la distribución de números primos . Schoenfeld [35] ha demostrado que si la hipótesis de Riemann es cierta, entonces
para todos . Si analizamos las desviaciones de Chebyshev Δ ( n ) en los enteros n utilizando el método de expansión de contenedores y graficamos la varianza frente a la media, se puede demostrar una ley de potencia de varianza a media. [ cita requerida ] Además, estas desviaciones corresponden a la distribución de Poisson-gamma del compuesto Tweedie y exhiben ruido 1 / f .
Otras aplicaciones
Las aplicaciones de las distribuciones de Tweedie incluyen:
- estudios actuariales [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]
- análisis de ensayo [43] [44]
- análisis de supervivencia [45] [46] [47]
- ecología [11]
- análisis del consumo de alcohol en adolescentes británicos [48]
- aplicaciones médicas [49]
- economía de la salud [50]
- meteorología y climatología [49] [51]
- pesca [52]
- Función de Mertens [53]
- criticidad autoorganizada [54]
Referencias
- ↑ a b Tweedie, MCK (1984). "Un índice que distingue entre algunas familias exponenciales importantes". En Ghosh, JK; Roy, J (eds.). Estadísticas: aplicaciones y nuevos rumbos . Actas de la Conferencia Internacional del Jubileo de Oro del Instituto de Estadística de la India. Calcuta: Instituto de Estadística de la India. págs. 579–604. Señor 0786162 .
- ^ a b c d e f Jørgensen, Bent (1997). La teoría de los modelos de dispersión . Chapman y Hall. ISBN 978-0412997112.
- ^ Jørgensen, B (1987). "Modelos de dispersión exponencial". Revista de la Sociedad Real de Estadística, Serie B . 49 (2): 127-162. JSTOR 2345415 .
- ^ Smith, CAB (1997). "Obituario: Maurice Charles Kenneth Tweedie, 1919-1996". Revista de la Sociedad Real de Estadística, Serie A . 160 (1): 151-154. doi : 10.1111 / 1467-985X.00052 .
- ^ Jørgensen, B; Martínez, JR; Tsao, M (1994). "Comportamiento asintótico de la función de varianza". Revista Escandinava de Estadística . 21 : 223–243.
- ^ a b c d e f g h Kendal, WS; Jørgensen, B. (2011). "Convergencia Tweedie: una base matemática para la ley de potencia de Taylor, ruido 1 / f y multifractalidad" . Revisión E física . 84 (6): 066120. Código Bibliográfico : 2011PhRvE..84f6120K . doi : 10.1103 / PhysRevE.84.066120 . PMID 22304168 .
- ^ a b Taylor, LR (1961). "Agregación, varianza y media". Naturaleza . 189 (4766): 732–735. Código Bibliográfico : 1961Natur.189..732T . doi : 10.1038 / 189732a0 .
- ^ Hanski, yo (1980). "Patrones espaciales y movimientos en escarabajos coprófagos". Oikos . 34 (3): 293–310. doi : 10.2307 / 3544289 . JSTOR 3544289 .
- ^ Anderson, RD; Crawley, GM; Hassell, M (1982). "Variabilidad en la abundancia de especies animales y vegetales". Naturaleza . 296 (5854): 245–248. Código Bibliográfico : 1982Natur.296..245A . doi : 10.1038 / 296245a0 .
- ^ Fronczak, A; Fronczak, P (2010). "Orígenes de la ley de potencia de Taylor para el escalado de fluctuaciones en sistemas complejos". Phys Rev E . 81 (6): 066112. arXiv : 0909.1896 . Código Bibliográfico : 2010PhRvE..81f6112F . doi : 10.1103 / physreve.81.066112 . PMID 20866483 .
- ^ a b c Kendal, WS (2002). "Agregación espacial del escarabajo de la patata de Colorado descrito por un modelo de dispersión exponencial". Modelización ecológica . 151 (2–3): 261–269. doi : 10.1016 / s0304-3800 (01) 00494-x .
- ^ Kendal, WS (2004). "Ley de potencia ecológica de Taylor como consecuencia de modelos de dispersión exponencial invariante de escala". Complejo Ecol . 1 (3): 193–209. doi : 10.1016 / j.ecocom.2004.05.001 .
- ^ Dutta, P; Horn, PM (1981). "Fluctuaciones de baja frecuencia en sólidos: ruido 1 / f ". Rev Mod Phys . 53 (3): 497–516. Código Bibliográfico : 1981RvMP ... 53..497D . doi : 10.1103 / revmodphys.53.497 .
- ^ Leland, WE; Taqqu, MS; Willinger, W; Wilson, DV (1994). "Sobre la naturaleza auto-similar del tráfico Ethernet (versión extendida)". Transacciones IEEE / ACM sobre redes . 2 : 1-15. doi : 10.1109 / 90.282603 .
- ^ a b Tsybakov, B; Georganas, ND (1997). "Sobre tráfico auto-similar en colas ATM: definiciones, límite de probabilidad de desbordamiento y distribución de retardo de celda". Transacciones IEEE / ACM sobre redes . 5 (3): 397–409. CiteSeerX 10.1.1.53.5040 . doi : 10.1109 / 90.611104 .
- ^ Kendal, WS (2007). "Escala de correlaciones invariantes entre genes y SNP en el cromosoma humano 1 revelan posibles mecanismos evolutivos". J Theor Biol . 245 (2): 329–340. doi : 10.1016 / j.jtbi.2006.10.010 . PMID 17137602 .
- ^ McQuarrie DA (1976) Mecánica estadística [Harper & Row]
- ^ Kendal, WS (2014). "Multifractalidad atribuida a efectos de convergencia límite-mentira central dual". Un Physica . 401 : 22–33. Código bibliográfico : 2014PhyA..401 ... 22K . doi : 10.1016 / j.physa.2014.01.022 .
- ^ Jørgensen, B; Kokonendji, CC (2011). "Modelos de dispersión para sumas geométricas" . Braz J Probab Stat . 25 (3): 263-293. doi : 10.1214 / 10-bjps136 .
- ^ Bassingthwaighte, JB (1989). "Naturaleza fractal de la heterogeneidad regional del flujo sanguíneo del miocardio" . Circ Res . 65 (3): 578–590. doi : 10.1161 / 01.res.65.3.578 . PMC 3361973 . PMID 2766485 .
- ^ Kendal, WS (2001). "Un modelo estocástico para la heterogeneidad auto-similar del flujo sanguíneo de órganos regionales" . Proc Natl Acad Sci USA . 98 (3): 837–841. Código Bibliográfico : 2001PNAS ... 98..837K . doi : 10.1073 / pnas.98.3.837 . PMC 14670 . PMID 11158557 .
- ^ Honig, CR; Feldstein, ML; Frierson, JL (1977). "Longitudes capilares, anastomosis y tiempos estimados de tránsito capilar en músculo esquelético". Am J Physiol Heart Circ Physiol . 233 (1): H122 – H129. doi : 10.1152 / ajpheart.1977.233.1.h122 . PMID 879328 .
- ^ a b Fidler, IJ; Kripke, M. (1977). "La metástasis resulta de células variantes preexistentes dentro de un tumor maligno". Ciencia . 197 (4306): 893–895. Código Bibliográfico : 1977Sci ... 197..893F . doi : 10.1126 / science.887927 . PMID 887927 .
- ^ Kendal, WS; Frost, P (1987). "Metástasis experimental: una nueva aplicación de la función de potencia de varianza a media". J Natl Cancer Inst . 79 : 1113-1115. doi : 10.1093 / jnci / 79.5.1113 .
- ^ Kendal, WS (1999). "La agrupación de metástasis pulmonares murinas refleja la falta de uniformidad fractal en el flujo sanguíneo pulmonar regional". Metástasis de invasión . 18 (5–6): 285–296. doi : 10.1159 / 000024521 . PMID 10729773 .
- ^ Kendal, WS; Lagerwaard, FJ; Agboola, O (2000). "Caracterización de la distribución de frecuencia de metástasis hematógenas humanas: evidencia de agrupamiento y una función de varianza de potencia". Clin Exp Metástasis . 18 (3): 219-229. doi : 10.1023 / A: 1006737100797 . PMID 11315095 .
- ^ Weiss, L; Bronk, J; Pickren, JW; Lane, WW (1981). "Patrones metastásicos y flujo sanguíneo arterial de órganos diana". Metástasis de invasión . 1 : 126-135.
- ^ Chambers, AF; Novio, AC; MacDonald, IC (2002). "Diseminación y crecimiento de células cancerosas en sitios metastásicos". Nature Reviews Cancer . 2 (8): 563–572. doi : 10.1038 / nrc865 . PMID 12154349 .
- ^ Kendal, WS (2002). "Una distribución de frecuencia para el número de metástasis de órganos hematógenos". Metástasis de invasión . 1 : 126-135.
- ^ Kendal, WS (2003). "Un modelo de dispersión exponencial para la distribución de polimorfismos de un solo nucleótido humano" . Mol Biol Evol . 20 (4): 579–590. doi : 10.1093 / molbev / msg057 . PMID 12679541 .
- ^ a b Kendal, WS (2004). "Un agrupamiento invariante de escala de genes en el cromosoma humano 7" . BMC Evol Biol . 4 : 3. doi : 10.1186 / 1471-2148-4-3 . PMC 373443 . PMID 15040817 .
- ^ Sachidanandam, R; Weissman, D; Schmidt, SC; et al. (2001). "Un mapa de la variación del genoma humano que contiene 1,42 millones de polimorfismos de un solo nucleótido" . Naturaleza . 409 (6822): 928–933. Código Bibliográfico : 2001Natur.409..928S . doi : 10.1038 / 35057149 . PMID 11237013 .
- ^ Hudson, RR (1991). "Genealogías de genes y el proceso de coalescencia". Encuestas de Oxford en Biología Evolutiva . 7 : 1–44.
- ^ Tavare, S; Calvicie, DJ; Griffiths, RC; Donnelly, P (1997). "Inferir tiempos de coalescencia a partir de datos de secuencia de ADN". Genética . 145 : 505–518.
- ^ Schoenfeld, J (1976). "Límites más nítidos para las funciones de Chebyshev θ (x) y ψ (x). II" . Matemáticas de la Computación . 30 (134): 337–360. doi : 10.1090 / s0025-5718-1976-0457374-x .
- ^ Haberman, S .; Renshaw, AE (1996). "Modelos lineales generalizados y ciencia actuarial". El estadístico . 45 (4): 407–436. doi : 10.2307 / 2988543 . JSTOR 2988543 .
- ^ Renshaw, AE 1994. Modelado del proceso de reclamaciones en presencia de covariables. Boletín ASTIN 24: 265–286.
- ^ Jørgensen, B .; Paes; Souza, MC (1994). "Ajuste del modelo de Poisson compuesto de Tweedie a los datos de reclamaciones de seguros". Scand. Actuar. J . 1 : 69–93. CiteSeerX 10.1.1.329.9259 . doi : 10.1080 / 03461238.1994.10413930 .
- ^ Haberman, S. y Renshaw, AE 1998. Aplicaciones actuariales de modelos lineales generalizados. En Estadística en Finanzas, DJ Hand y SD Jacka (eds), Arnold, Londres.
- ^ Mildenhall, SJ 1999. Una relación sistemática entre sesgo mínimo y modelos lineales generalizados. 1999 Proceedings of the Casualty Actuarial Society 86: 393–487.
- ^ Murphy, KP, Brockman, MJ y Lee, PKW (2000). Usar modelos lineales generalizados para construir sistemas de precios dinámicos. Casualty Actuarial Forum, invierno de 2000.
- ^ Smyth, GK; Jørgensen, B. (2002). "Ajuste del modelo de Poisson compuesto de Tweedie a los datos de reclamaciones de seguros: modelado de dispersión" (PDF) . Boletín ASTIN . 32 : 143-157. doi : 10.2143 / ast.32.1.1020 .
- ^ Davidian, M (1990). "Estimación de funciones de varianza en ensayos con posible replicación desigual y datos no normales". Biometrika . 77 : 43–54. doi : 10.1093 / biomet / 77.1.43 .
- ^ Davidian, M .; Carroll, RJ; Smith, W. (1988). "Funciones de varianza y concentración mínima detectable en ensayos" . Biometrika . 75 (3): 549–556. doi : 10.1093 / biomet / 75.3.549 .
- ^ Aalen, OO (1992). "Modelización de la heterogeneidad en el análisis de supervivencia mediante la distribución de Poisson compuesta" . Ana. Apl. Probab . 2 (4): 951–972. doi : 10.1214 / aoap / 1177005583 .
- ^ Hougaard, P .; Harvald, B .; Holm, NV (1992). "Medir las similitudes entre las vidas de los gemelos daneses adultos nacidos entre 1881-1930". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 87 (417): 17–24. doi : 10.1080 / 01621459.1992.10475170 .
- ^ Hougaard, P (1986). "Modelos de supervivencia para poblaciones heterogéneas derivadas de distribuciones estables". Biometrika . 73 (2): 387–396. doi : 10.1093 / biomet / 73.2.387 .
- ^ Gilchrist, R. y Drinkwater, D. 1999. Ajuste de modelos Tweedie a datos con probabilidad de respuestas cero. Actas del 14º Taller internacional sobre modelización estadística, Graz, págs. 207–214.
- ^ a b Smyth, GK 1996. Análisis de regresión de datos cuantitativos con ceros exactos. Actas del segundo taller Australia-Japón sobre modelos estocásticos en ingeniería, tecnología y gestión. Centro de Gestión de Tecnología, Universidad de Queensland, 572–580.
- ^ Kurz, Christoph F. (2017). "Distribuciones de Tweedie para ajustar datos de costos de utilización de atención médica semicontinuos" . Metodología de Investigación Médica de BMC . 17 (171): 171. doi : 10.1186 / s12874-017-0445-y . PMC 5735804 . PMID 29258428 .
- ^ Hasan, MM; Dunn, PK (2010). "Dos distribuciones de Tweedie que son casi óptimas para modelar la lluvia mensual en Australia". Revista Internacional de Climatología . 31 : 1389-1397. doi : 10.1002 / joc.2162 .
- ^ Candy, SG (2004). "Modelado de datos de captura y esfuerzo utilizando modelos lineales generalizados, la distribución Tweedie, efectos aleatorios del barco y efectos aleatorios de estrato por año". Ciencia de la CCRVMA . 11 : 59–80.
- ^ Kendal, WS; Jørgensen, B (2011). "Ley de potencia de Taylor y escala de fluctuación explicada por una convergencia similar a un límite central". Phys. Rev. E . 83 (6): 066115. Código Bibliográfico : 2011PhRvE..83f6115K . doi : 10.1103 / physreve.83.066115 . PMID 21797449 .
- ^ Kendal, WS (2015). "Criticidad autoorganizada atribuida a un efecto de convergencia tipo límite central". Un Physica . 421 : 141-150. Código bibliográfico : 2015PhyA..421..141K . doi : 10.1016 / j.physa.2014.11.035 .
Otras lecturas
- Dunn, PK; Smyth, GK (2018). Modelos lineales generalizados con ejemplos en R . Nueva York: Springer. doi : 10.1007 / 978-1-4419-0118-7 . ISBN 978-1-4419-0118-7. El capítulo 12 trata sobre las distribuciones y modelos de Tweedie.
- Kaas, R. (2005). "Distribución de Poisson compuesta y GLM's - Distribución de Tweedie" . En Actas del Foro de contacto "3er Día de las matemáticas actuariales y financieras" , páginas 3–12. Bruselas: Real Academia Flamenca de Bélgica para las Ciencias y las Artes.
- Tweedie, MCK (1956). "Algunas propiedades estadísticas de las distribuciones gaussianas inversas". Virginia J. Sci . Series nuevas. 7 : 160-165.