Extensión de grupo
En matemáticas , una extensión de grupo es un medio general de describir un grupo en términos de un subgrupo normal particular y un grupo de cociente . Si Q y N son dos grupos, entonces G es una extensión de Q por N si hay una sucesión exacta corta
Si G es una extensión de Q por N , entonces G es un grupo, es un subgrupo normal de G y el grupo cociente es isomorfo al grupo Q. Las extensiones de grupo surgen en el contexto del problema de extensión , donde se conocen los grupos Q y N y se deben determinar las propiedades de G. Tenga en cuenta que algunos también utilizan la expresión " G es una extensión de N por Q ". [1]
Dado que cualquier grupo finito G posee un subgrupo normal máximo N con un grupo factorial simple G / N , todos los grupos finitos pueden construirse como una serie de extensiones con grupos simples finitos . Este hecho fue una motivación para completar la clasificación de grupos finitos simples .
Una extensión, el producto directo , es inmediatamente obvia. Si se requiere que G y Q sean grupos abelianos , entonces el conjunto de clases de isomorfismos de extensiones de Q por un grupo N (abeliano) dado es de hecho un grupo, que es isomorfo a
cf. el funtor Ext . Se conocen varias otras clases generales de extensiones, pero no existe una teoría que trate todas las extensiones posibles al mismo tiempo. La extensión de grupo suele describirse como un problema difícil; se denomina el problema de la extensión .
Para considerar algunos ejemplos, si G = K × H , entonces G es una extensión tanto de H como de K . De manera más general, si G es un producto semidirecto de K y H , escrito como , entonces G es una extensión de H por K , por lo que productos como el producto de la corona brindan más ejemplos de extensiones.
