En matemáticas , una solución extraña (o solución espuria ) es una solución, como la de una ecuación, que surge del proceso de resolver el problema pero no es una solución válida para el problema. [1] Una solución faltante es una solución que es una solución válida al problema, pero que desapareció durante el proceso de resolución del problema. Ambos son frecuentemente consecuencia de realizar operaciones que no son invertibles para algunos o todos los valores de las variables, lo que evita que la cadena de implicaciones lógicas en la demostración sea bidireccional.
Soluciones extrañas: multiplicación
Uno de los principios básicos del álgebra es que se pueden multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma expresión sin cambiar las soluciones de la ecuación. Sin embargo, estrictamente hablando, esto no es cierto, ya que la multiplicación por ciertas expresiones puede introducir nuevas soluciones que antes no estaban presentes. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación:
Si multiplicamos ambos lados por cero, obtenemos,
Esto es cierto para todos los valores de x , por lo que el conjunto de soluciones son todos los números reales. Pero claramente no todos los números reales son soluciones a la ecuación original. El problema es que la multiplicación por cero no es invertible : si multiplicamos por cualquier valor distinto de cero, podemos revertir el paso dividiendo por el mismo valor, pero la división por cero no está definida, por lo que la multiplicación por cero no se puede revertir.
Más sutilmente, suponga que tomamos la misma ecuación y multiplicamos ambos lados por x . Obtenemos
Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones, - 2 y 0. Pero si cero se sustituye por x en la ecuación original, el resultado es la ecuación no válida 2 = 0. Este resultado contrario a la intuición ocurre porque en el caso donde x = 0, multiplicar ambos lados por x multiplica ambos lados por cero, por lo que necesariamente produce una ecuación verdadera como en el primer ejemplo.
En general, siempre que multiplicamos ambos lados de una ecuación por una expresión que involucra variables, introducimos soluciones extrañas siempre que esa expresión sea igual a cero. Pero no es suficiente excluir estos valores, porque pueden haber sido soluciones legítimas a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que multiplicamos ambos lados de nuestra ecuación original x + 2 = 0 por x + 2. Obtenemos
que tiene solo una solución real: x = −2, y esta es una solución a la ecuación original, por lo que no se puede excluir, aunque x + 2 es cero para este valor de x .
Soluciones extrañas: racionales
Las soluciones extrañas pueden surgir naturalmente en problemas que involucran fracciones con variables en el denominador. Por ejemplo, considere esta ecuación:
Para comenzar a resolver, multiplicamos cada lado de la ecuación por el mínimo común denominador de todas las fracciones contenidas en la ecuación. En este caso, el mínimo común denominador es. Después de realizar estas operaciones, las fracciones se eliminan y la ecuación se convierte en:
Resolver esto produce la solución única x = −2. Sin embargo, cuando volvemos a sustituir la solución en la ecuación original, obtenemos:
Entonces, la ecuación se convierte en:
Esta ecuación no es válida, ya que no se puede dividir por cero . Por lo tanto, la solución x = –2 es extraña y no es válida, y la ecuación original no tiene solución.
Para este ejemplo específico, se podría reconocer que (para el valor de x = -2), la operación de multiplicar por sería una multiplicación por 0. Sin embargo, no siempre es sencillo evaluar si cada operación ya realizada fue permitida por la respuesta final. Debido a esto, a menudo, la única manera simple y efectiva de lidiar con la multiplicación por expresiones que involucran variables es sustituir cada una de las soluciones obtenidas en la ecuación original y confirmar que esto produce una ecuación válida. Después de descartar las soluciones que producen una ecuación no válida, tendremos el conjunto correcto de soluciones. En algunos casos, como en el ejemplo anterior, se pueden descartar todas las soluciones, en cuyo caso la ecuación original no tiene solución.
Soluciones faltantes: división
Las soluciones extrañas no son demasiado difíciles de tratar porque solo requieren verificar la validez de todas las soluciones. Sin embargo, son más insidiosas las soluciones que faltan, que pueden ocurrir al realizar operaciones en expresiones que no son válidas para ciertos valores de esas expresiones.
Por ejemplo, si estuviéramos resolviendo la siguiente ecuación, la solución correcta se obtiene restando 4 de ambos lados y luego dividiendo ambos lados por 2:
Por analogía, podríamos suponer que podemos resolver la siguiente ecuación restando 2 x de ambos lados y luego dividiendo por x :
La solución x = −2 es de hecho una solución válida a la ecuación original; pero la otra solución, x = 0, ha desaparecido. El problema es que dividimos ambos lados por x , lo que implica la operación indeterminada de dividir por cero cuando x = 0.
Generalmente es posible (y recomendable) evitar dividir por cualquier expresión que pueda ser cero; sin embargo, cuando sea necesario, es suficiente asegurarse de que cualquier valor de las variables que lo hagan cero tampoco satisfaga la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que tenemos esta ecuación:
Es válido dividir ambos lados por x −2, obteniendo la siguiente ecuación:
Esto es válido porque el único valor de x que hace que x −2 sea igual a cero es x = 2, y x = 2 no es una solución a la ecuación original.
En algunos casos, no nos interesan determinadas soluciones; por ejemplo, es posible que solo queramos soluciones en las que x sea positivo. En este caso, está bien dividir por una expresión que solo es cero cuando x es cero o negativo, porque esto solo puede eliminar las soluciones que no nos importan.
Otras operaciones
La multiplicación y la división no son las únicas operaciones que pueden modificar el conjunto solución. Por ejemplo, tome el problema:
Si sacamos la raíz cuadrada positiva de ambos lados, obtenemos:
No estamos tomando la raíz cuadrada de ningún valor negativo aquí, ya que tanto x 2 como 4 son necesariamente positivos. Pero hemos perdido la solución x = −2. La razón es que x en realidad no es en general la raíz cuadrada positiva de x 2 . Si x es negativo, la raíz cuadrada positiva de x 2 es -x . Si el paso se da correctamente, conduce a la ecuación:
Esta ecuación tiene las mismas dos soluciones que la original: x = 2 y x = −2.
También podemos modificar el conjunto de soluciones elevando ambos lados al cuadrado, porque esto hará que cualquier valor negativo en los rangos de la ecuación sea positivo, lo que provocará soluciones extrañas.
Ver también
Referencias
- ^ Ron Larson (1 de enero de 2011). Cálculo I con Precálculo . Aprendizaje Cengage. págs. 4–. ISBN 0-8400-6833-6.