En cálculo y otras ramas del análisis matemático , los límites que involucran una combinación algebraica de funciones en una variable independiente a menudo pueden evaluarse reemplazando estas funciones por sus límites ; si la expresión obtenida después de esta sustitución no proporciona suficiente información para determinar el límite original, entonces la expresión se denomina forma indeterminada . Más específicamente, una forma indeterminada es una expresión matemática que implica, y , obtenido aplicando el teorema del límite algebraico en el proceso de intentar determinar un límite, que no restringe ese límite a un valor específico o al infinito (si un límite se confirma como infinito, entonces no es indeterminado ya que el límite se determina como infinito) y, por lo tanto, aún no determina el límite que se busca. [1] [2] El término fue introducido originalmente por el estudiante de Cauchy , Moigno, a mediados del siglo XIX.
Hay siete formas indeterminadas que se consideran típicamente en la literatura: [2]
El ejemplo más común de una forma indeterminada ocurre cuando se determina el límite de la razón de dos funciones, en el que ambas funciones tienden a cero en el límite, y se conoce como "la forma indeterminada ". Por ejemplo, como enfoques , las proporciones , , y ir , , y respectivamente. En cada caso, si se sustituyen los límites del numerador y el denominador, la expresión resultante es, que no está definido. En una manera suelta de hablar, puede asumir los valores , , o , y es fácil construir ejemplos similares para los cuales el límite es un valor particular.
Entonces, dado que dos funciones y ambos acercándose como se acerca a algún punto límite, ese hecho por sí solo no proporciona suficiente información para evaluar el límite
No toda expresión algebraica indefinida corresponde a una forma indeterminada. [3] Por ejemplo, la expresiónno está definido como un número real pero no corresponde a una forma indeterminada; cualquier límite definido que dé lugar a esta forma divergerá hasta el infinito.
Una expresión que surge de formas distintas a la aplicación del teorema del límite algebraico puede tener la misma forma de forma indeterminada. Sin embargo, no es apropiado llamar a una expresión "forma indeterminada" si la expresión se hace fuera del contexto de los límites determinantes. Por ejemplo, que surge de sustituir por en la ecuación no es una forma indeterminada ya que esta expresión no se hace en la determinación de un límite (de hecho, no está definida como división por cero ). Otro ejemplo es la expresión. Si esta expresión se deja indefinida o se define como igual, depende del campo de aplicación y puede variar entre autores. Para obtener más información, consulte el artículo Cero elevado a cero . Tenga en cuenta quey otras expresiones que involucran infinito no son formas indeterminadas .
Algunos ejemplos y no ejemplos
Forma indeterminada 0/0
Figura 1: y =X/X
Figura 2: y = x 2/X
Figura 3: y = pecado x/X
Figura 4: y = x - 49/√ x - 7(para x = 49)
Figura 5: y = una x/Xdonde a = 2
Figura 6: y = X/x 3
La forma indeterminada es particularmente común en cálculo , porque a menudo surge en la evaluación de derivadas usando su definición en términos de límite.
Como se ha mencionado más arriba,
(ver figura 1)
tiempo
(ver figura 2)
Esto es suficiente para demostrar que es una forma indeterminada. Otros ejemplos con esta forma indeterminada incluyen
(ver fig.3)
y
(ver figura 4)
Sustitución directa del número que enfoques en cualquiera de estas expresiones muestra que estos son ejemplos corresponden a la forma indeterminada , pero estos límites pueden asumir muchos valores diferentes. Cualquier valor deseado se puede obtener para esta forma indeterminada de la siguiente manera:
(ver figura 5)
El valor también se puede obtener (en el sentido de divergencia hasta el infinito):
(ver fig.6)
Forma indeterminada 0 0
Figura 7: y = x 0
Figura 8: y = 0 x
Los siguientes límites ilustran que la expresión es una forma indeterminada:
(ver figura 7)
(ver figura 8)
Así, en general, sabiendo que y no es suficiente para evaluar el límite
Si las funciones y son analíticos en, y es positivo para suficientemente cerca (pero no igual) a , entonces el límite de estarán . [4] De lo contrario, utilice la transformación de la siguiente tabla para evaluar el límite.
Expresiones que no son formas indeterminadas
La expresion no se considera comúnmente como una forma indeterminada, porque si el límite de existe entonces no hay ambigüedad en cuanto a su valor, ya que siempre diverge. Específicamente, si enfoques y enfoques , luego y puede elegirse de modo que:
enfoques
enfoques
El límite no existe.
En cada caso el valor absoluto enfoques , y entonces el cociente debe divergir, en el sentido de los números reales extendidos (en el marco de la línea real proyectada extendida , el límite es el infinito sin signoen los tres casos [3] ). Del mismo modo, cualquier expresión de la forma con (incluso y ) no es una forma indeterminada, ya que un cociente que dé lugar a tal expresión siempre divergerá.
La expresion no es una forma indeterminada. La expresion obtenido de considerar da el limite , siempre que permanece no negativo como enfoques . La expresion es igualmente equivalente a ; Si como enfoques , el límite sale como .
Para ver por qué, deja dónde y Tomando el logaritmo natural de ambos lados y usando lo entendemos Lo que significa que
Evaluar formas indeterminadas
El adjetivo indeterminado no no implica que no existe el límite, ya que muchos de los ejemplos anteriores muestran. En muchos casos, se puede utilizar la eliminación algebraica, la regla de L'Hôpital u otros métodos para manipular la expresión de modo que se pueda evaluar el límite. [1]
Infinitesimal equivalente
Cuando dos variables y convergen a cero en el mismo punto límite y , se denominan infinitesimales equivalentes (equiv.).
Además, si las variables y son tales que y , luego:
Aquí hay una breve prueba:
Supongamos que hay dos infinitesimales equivalentes y .
Para la evaluación de la forma indeterminada , uno puede hacer uso de los siguientes hechos sobre infinitesimales equivalentes (por ejemplo,si x se acerca a cero): [5]
Por ejemplo:
En la 2ª igualdad, dónde como y estar más cerca de 0 se utiliza, y dónde se utiliza en el 4 º igualdad yse utiliza en la 5ª igualdad.
Regla de L'Hôpital
La regla de L'Hôpital es un método general para evaluar las formas indeterminadas y . Esta regla establece que (en condiciones apropiadas)
dónde y son los derivados de y . (Tenga en cuenta que esta regla no se aplica a las expresiones, , y así sucesivamente, ya que estas expresiones no son formas indeterminadas.) Estas derivadas permitirán realizar una simplificación algebraica y eventualmente evaluar el límite.
La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas, utilizando primero una transformación algebraica apropiada. Por ejemplo, para evaluar la forma 0 0 :
El lado derecho tiene la forma , por lo que se aplica la regla de L'Hôpital. Tenga en cuenta que esta ecuación es válida (siempre que se defina el lado derecho) porque el logaritmo natural (ln) es una función continua ; es irrelevante lo bien que se portaba y puede (o no) ser tan largo como es asintóticamente positivo. (el dominio de los logaritmos es el conjunto de todos los números reales positivos).
Aunque la regla de L'Hôpital se aplica a ambos y , una de estas formas puede ser más útil que la otra en un caso particular (debido a la posibilidad de simplificación algebraica posterior). Uno puede cambiar entre estas formas, si es necesario, transformando a .
Lista de formas indeterminadas
La siguiente tabla enumera las formas indeterminadas más comunes y las transformaciones para aplicar la regla de l'Hôpital.