Teorema de F. Riesz

---

El teorema de F. Riesz (llamado así por Frigyes Riesz ) es un teorema importante en el análisis funcional que establece que un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS) es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto . El teorema y sus consecuencias se utilizan de forma ubicua en el análisis funcional, a menudo se utilizan sin mencionarlos explícitamente.

Recuerde que un espacio vectorial topológico (TVS) es Hausdorff si y solo si el conjunto singleton que consiste en su totalidad en el origen es un subconjunto cerrado de Un mapa entre dos TVS se denomina TVS-isomorfismo o isomorfismo en la categoría de TVS si es un homeomorfismo lineal .${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X.}$

F. Teorema de Riesz ^{[1] [2]}  -  Un TVS de Hausdorff sobre el campo ( son los números reales o complejos) es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto (o de manera equivalente, si y solo si existe un barrio del origen). En este caso, es TVS-isomorfo a${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} ^{{\text{dim}}X}.}$

En todas partes , hay TVS (no necesariamente Hausdorff) con un espacio vectorial de dimensión finita.${\displaystyle F,X,Y}$${\displaystyle F}$

En particular, el rango de es TVS-isomorfo a${\displaystyle L}$${\displaystyle X/L^{-1}(0).}$

---