En matemáticas , especialmente en un área de álgebra abstracta conocida como teoría de la representación , una representación fiel ρ de un grupo G en un espacio vectorial V es una representación lineal en la que diferentes elementos g de G están representados por distintos mapeos lineales ρ ( g ) .
En un lenguaje más abstracto, esto significa que el homomorfismo de grupo
Advertencia: si bien las representaciones de G sobre un campo K son de facto lo mismo que los módulos K [ G ] (con K [ G ] denotando el álgebra de grupo del grupo G ), una representación fiel de G no es necesariamente un módulo fiel para el álgebra de grupo. De hecho, cada módulo K [ G ] fiel es una representación fiel de G , pero lo contrario no es válido. Considérese, por ejemplo, la representación natural del grupo simétrico S n en n dimensiones mediante matrices de permutación , que ciertamente es fiel. ¡Aquí el orden del grupo es n ! mientras que las n × n matrices forman un espacio vectorial de dimensión n 2 . Tan pronto como n sea al menos 4, el recuento de dimensiones significa que debe producirse alguna dependencia lineal entre las matrices de permutación (ya que 24> 16 ); esta relación significa que el módulo de álgebra de grupo no es fiel.
Propiedades
Una representación V de un grupo finito G sobre un campo K algebraicamente cerrado de característica cero es fiel (como representación) si y solo si cada representación irreducible de G ocurre como una subrepresentación de S n V (la n -ésima potencia simétrica de la representación V ) para un n suficientemente alto . Además, V es fiel (como representación) si y solo si cada representación irreductible de G ocurre como una subrepresentación de
(la n -ésima potencia tensorial de la representación V ) para una n suficientemente alta . [ cita requerida ]
Referencias
"representación fiel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]