En geometría algebraica, una superficie de Fano es una superficie de tipo general (en particular, no una variedad de Fano ) cuyos puntos indexan las líneas en un triple cúbico no singular . Fueron estudiados por primera vez por Fano ( 1904 ).
Las superficies de Fano son quizás los ejemplos más simples y estudiados de superficies irregulares de tipo general que no están relacionadas con un producto de dos curvas y no son una intersección completa de divisores en una variedad abeliana.
La superficie Fano S de un triple cúbico suave en P 4 tiene muchas propiedades geométricas notables. La superficie S está incrustada naturalmente en el grassmanniano de las líneas G (2,5) de P 4 . Sea U la restricción a S del paquete universal de rango 2 en G. Tenemos:
Teorema del haz tangente ( Fano , Clemens - Griffiths , Tyurin): El haz tangente de S es isomorfo a U.
Este es un resultado bastante interesante porque, a priori, no debería haber ningún vínculo entre estos dos paquetes. Tiene muchas aplicaciones poderosas. Por ejemplo, se puede recuperar el hecho de que el espacio cotangente de S es generado por secciones globales. Este espacio de formas 1 globales se puede identificar con el espacio de secciones globales del haz de líneas tautológicas O (1) restringido a la F cúbica y además:
Teorema de tipo Torelli: Sea g 'el morfismo natural desde S hasta el grassmanniano G (2,5) definido por la gavilla cotangente de S generada por su espacio de 5 dimensiones de secciones globales. Sea F 'la unión de las líneas correspondientes ag' (S). El triple F 'es isomorfo a F.