En geometría algebraica , una superficie de tipo general es una superficie algebraica con Kodaira dimensión 2. Debido al teorema de Chow, cualquier variedad compleja compacta de dimensión 2 y con Kodaira dimensión 2 será en realidad una superficie algebraica, y en cierto sentido la mayoría de las superficies están en este clase.
Clasificación
Gieseker demostró que existe un esquema de módulos burdos para superficies de tipo general; esto significa que para cualquier valor fijo de los números de Chern hay un esquema cuasi-proyectivo que clasifica las superficies de tipo general con esos números de Chern. Sigue siendo un problema muy difícil describir estos esquemas explícitamente, y hay pocos pares de números de Chern para los que se ha hecho esto (excepto cuando el esquema está vacío). Hay algunos indicios de que estos esquemas son en general demasiado complicados para escribirlos explícitamente: los límites superiores conocidos para el número de componentes son muy grandes, algunos componentes pueden no reducirse en todas partes, los componentes pueden tener muchas dimensiones diferentes y las pocas piezas que se han estudiado explícitamente tienden a parecer bastante complicadas.
El estudio de qué pares de números de Chern pueden ocurrir para una superficie de tipo general se conoce como "geografía de los números de Chern "y hay una respuesta casi completa a esta pregunta. Hay varias condiciones que los números de Chern de unasuperficie mínima compleja de tipo general deben satisfacer:
- (ya que es igual a 12χ)
- (la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau )
- donde q es la irregularidad de una superficie (la desigualdad de Noether ).
Muchos (y posiblemente todos) pares de enteros que satisfacen estas condiciones son los números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general. Por el contrario, para superficies casi complejas , la única restricción es:
y esto siempre se puede realizar. [1]
Ejemplos de
Ésta es sólo una pequeña selección del gran número de ejemplos de superficies de tipo general que se han encontrado. Muchas de las superficies de tipo general que se han investigado se encuentran en (o cerca) de los bordes de la región de posibles números de Chern. En particular, las superficies de Horikawa se encuentran en o cerca de la "línea Noether", muchas de las superficies enumeradas a continuación se encuentran en la línea el valor mínimo posible para tipo general y superficies en la línea son todos cocientes de la bola unitaria en C 2 (y son particularmente difíciles de encontrar).
Superficies con χ = 1
Estas superficies que se encuentran en el límite "inferior izquierdo" en el diagrama se han estudiado en detalle. Para estas superficies con segunda clase Chern puede ser cualquier número entero de 3 a 11. Se conocen superficies con todos estos valores; algunos de los muchos ejemplos que se han estudiado son:
- c 2 = 3: Plano proyectivo falso (superficie de Mumford). El primer ejemplo fue encontrado por Mumford usando geometría p -ádica, y hay 50 ejemplos en total. Tienen los mismos números de Betti que el plano proyectivo, pero no son homeomórficos para él ya que sus grupos fundamentales son infinitos.
- c 2 = 4: las superficies de Beauville reciben el nombre de Arnaud Beauville y tienen un grupo fundamental infinito.
- c 2 ≥ 4: superficies Burniat
- c 2 = 10: Superficies Campedelli . Las superficies con los mismos números de Hodge se denominan superficies Campedelli numéricas .
- c 2 = 10: las superficies catanesas están simplemente conectadas.
- c 2 = 11: Superficies de Godeaux . El grupo cíclico de orden 5 actúa libremente sobre la superficie de puntos de Fermat.en P 3 satisfaciendo por mapeo a donde ρ es una quinta raíz de 1. El cociente de esta acción es la superficie de Godeaux original . Otras superficies construidas de manera similar con los mismos números de Hodge también se denominan a veces superficies de Godeaux. Las superficies con los mismos números de Hodge (como las superficies de Barlow) se denominan superficies numéricas de Godeaux . El grupo fundamental (de la superficie original de Godeaux) es cíclico de orden 5.
- c 2 = 11: las superficies de Barlow están simplemente conectadas. Junto con la superficie Craighero-Gattazzo, estos son los únicos ejemplos conocidos de superficies simplemente conectadas de tipo general con p g = 0.
- Las superficies de Todorov dan contraejemplos a la conclusión del teorema de Torelli
Otros ejemplos
- Superficies de Castelnuovo : Otro caso extremo, Castelnuovo demostró que si el paquete canónico es muy amplio para una superficie de tipo general, entonces La superficie de Castelnuovo son superficies de tipo general tales que el paquete canónico es muy amplio y que
- Intersecciones completas : una intersección completa suave de hipersuperficies de gradosen P n es una superficie de tipo general a menos que los grados sean (2), (3), (2, 2) (racional), (4), (3, 2), (2, 2, 2) (dimensión de Kodaira 0). Las intersecciones completas están todas simplemente conectadas. Un caso especial son las hipersuperficies : por ejemplo, en P 3 , las superficies no singulares de grado al menos 5 son de tipo general (las hipersuperficies no singulares de grado 4 son superficies K3 , y las de grado menor que 4 son racionales ).
- Superficies de Fano de líneas en un cúbico 3 veces.
- Las superficies modulares de Hilbert son en su mayoría de tipo general.
- Las superficies de Horikawa son superficies con q = 0 y o (lo que implica que están más o menos en el borde de la "línea de Noether" de la región de valores posibles de los números de Chern). Todos están simplemente conectados, y Horikawa dio una descripción detallada de ellos.
- Productos: el producto de dos curvas ambas del género al menos 2 es una superficie de tipo general.
- Las cubiertas dobles de curvas no singulares de grado 2 m en P 2 son de tipo general si(Para 2 m = 2 son racionales, para 2 m = 4 son de nuevo racionales y se llaman planos dobles del Pezzo , y para 2 m = 6 son superficies K3 .) Están simplemente conectadas y tienen números de Chern.
Modelos canónicos
Bombieri (1973) demostró que el mapa multiconónico φ nK para una superficie compleja de tipo general es un isomorfismo biracional en su imagen siempre que n ≥5, y Ekedahl (1988) mostró que el mismo resultado todavía se mantiene en característica positiva. Hay algunas superficies para las que no es un isomorfismo bracional cuando n es 4. Estos resultados se derivan del teorema de Reider .
Ver también
Notas
- ^ Van De Ven, A. (junio de 1966). "Sobre los números chern de ciertas variedades complejas y casi complejas" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 55 (6): 1624–1627. Código Bibliográfico : 1966PNAS ... 55.1624V . doi : 10.1073 / pnas.55.6.1624 . PMC 224368 . PMID 16578639 .
Referencias
- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Bombieri, Enrico (1973), "Modelos canónicos de superficies de tipo general" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 42 (42): 171–219, doi : 10.1007 / BF02685880 , MR 0318163 , S2CID 56081921
- Ekedahl, Torsten (1988), "Modelos canónicos de superficies de tipo general en característica positiva" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 67 (67): 97–144, doi : 10.1007 / BF02699128 , MR 0972344 , S2CID 54756971
- P. Griffiths ; J. Harris (1994), Principios de geometría algebraica , Biblioteca Wiley Classics, Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
- Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Superficie algebraica de tipo general" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press