El filtro Kalman rápido (FKF) , ideado por Antti Lange (nacido en 1941), es una extensión del método de bloqueo Helmert-Wolf [1] (HWB) desde la geodesia hasta las aplicaciones críticas para la seguridad en tiempo real del filtrado Kalman (KF) como como navegación GNSS hasta el nivel de un centímetro de precisión e imágenes satelitales de la Tierra, incluida la tomografía atmosférica.
Motivación
Los filtros de Kalman son una técnica de filtrado importante para construir tolerancia a fallas en una amplia gama de sistemas, incluida la generación de imágenes en tiempo real. El filtro Kalman ordinario es generalmente óptimo para muchos sistemas. Sin embargo, un filtro de Kalman óptimo no es estable (es decir, confiable) si las condiciones de observabilidad y controlabilidad de Kalman no se satisfacen continuamente. [2] Estas condiciones son muy difíciles de mantener para cualquier sistema más grande. Esto significa que incluso los filtros de Kalman óptimos pueden comenzar a divergir hacia soluciones falsas. Afortunadamente, la estabilidad de un filtro de Kalman óptimo se puede controlar mediante el seguimiento de sus variaciones de error si solo se pueden estimar de forma fiable (por ejemplo, mediante MINQUE ). Sin embargo, su cálculo preciso es mucho más exigente que el filtrado Kalman óptimo en sí. El método de cálculo FKF proporciona a menudo la aceleración necesaria también a este respecto.
Calibración óptima
Los parámetros de calibración son un ejemplo típico de los parámetros de estado que pueden crear serios problemas de observabilidad si un filtro de Kalman utiliza continuamente una ventana estrecha de datos (es decir, muy pocas mediciones). [3] Los instrumentos de observación a bordo de satélites en órbita dan un ejemplo de filtrado Kalman óptimo en el que su calibración se realiza indirectamente en tierra. [4] También pueden existir otros parámetros de estado que son apenas o nada observables si se procesan muestras demasiado pequeñas de datos a la vez mediante cualquier tipo de filtro de Kalman.
Problema inverso
La carga de cálculo del problema inverso de una recursión de Kalman ordinaria [5] es aproximadamente proporcional al cubo del número de mediciones procesadas simultáneamente. Este número siempre se puede establecer en 1 procesando cada medida escalar de forma independiente y (si es necesario) realizando un algoritmo de prefiltrado simple para descorrelacionar estas medidas. Sin embargo, para cualquier sistema grande y complejo, este prefiltrado puede necesitar la computación HWB. Cualquier uso continuado de una ventana demasiado estrecha de datos de entrada debilita la observabilidad de los parámetros de calibración y, a largo plazo, esto puede conducir a serios problemas de controlabilidad totalmente inaceptables en aplicaciones críticas para la seguridad.
Incluso cuando se procesan muchas mediciones simultáneamente, no es inusual que el sistema de ecuaciones linealizadas se vuelva escaso, porque algunas mediciones resultan ser independientes de algunos parámetros de estado o calibración. En problemas de geodesia satelital, [6] la carga de cálculo del método HWB (y FKF) es aproximadamente proporcional al cuadrado del número total de parámetros de estado y calibración solamente y no de las mediciones que son miles de millones.
Solución confiable
El filtrado operativo confiable de Kalman requiere una fusión continua de datos en tiempo real. Su optimalidad depende esencialmente del uso de varianzas y covarianzas exactas entre todas las mediciones y el estado estimado y los parámetros de calibración. Esta matriz de covarianza de error grande se obtiene por inversión de matriz del sistema respectivo de Ecuaciones Normales . [7] Su matriz de coeficientes suele ser escasa y la solución exacta de todos los parámetros estimados se puede calcular utilizando el método HWB (y FKF). [7] La solución óptima también puede obtenerse mediante la eliminación de Gauss utilizando otras técnicas de matriz dispersa o algunos métodos iterativos basados, por ejemplo, en el cálculo variacional . Sin embargo, estos últimos métodos pueden resolver la matriz grande de todas las varianzas y covarianzas de error solo aproximadamente y la fusión de datos no se realizaría de una manera estrictamente óptima. En consecuencia, la estabilidad a largo plazo del filtrado de Kalman se vuelve incierta incluso si las condiciones de observabilidad y controlabilidad de Kalman se cumplieran permanentemente.
Descripción
El filtro Fast Kalman se aplica solo a sistemas con matrices dispersas, [8] ya que HWB es un método de inversión para resolver ecuaciones lineales dispersas (Wolf, 1978).
La matriz de coeficientes dispersos que se invertirá a menudo puede tener una estructura de bloques con bordes o de diagonales de banda (BBD). Si es diagonal de banda, puede transformarse en una forma de diagonal de bloque, por ejemplo, mediante un análisis de correlación canónica generalizado (gCCA) .
Por lo tanto, una matriz tan grande se puede invertir de manera más efectiva en forma de bloques mediante el uso de la siguiente fórmula de inversión analítica :
de Frobenius donde
- una gran matriz de bloques o diagonales de banda (BD) para invertir fácilmente, y
- una matriz mucho más pequeña llamada el complemento de Schur de .
Este es el método FKF que puede hacer computacionalmente posible estimar un número mucho mayor de parámetros de estado y calibración que lo que puede hacer una recursividad de Kalman ordinaria. Sus precisiones operativas también pueden estimarse de manera confiable a partir de la teoría de la estimación imparcial cuadrática de norma mínima ( MINQUE ) de CR Rao y utilizarse para controlar la estabilidad de este filtrado rápido óptimo de Kalman. [9]
Aplicaciones
El método FKF extiende las altísimas precisiones de la geodesia satelital a la topografía cinemática en tiempo real (RTK) de la estación de referencia virtual (VRS) , el posicionamiento móvil y la navegación ultra confiable. [10] Las primeras aplicaciones importantes serán la calibración óptima en tiempo real de los sistemas de observación global en meteorología, [11] geofísica, astronomía, etc.
Por ejemplo, un sistema de predicción numérica del tiempo (NWP) ahora puede pronosticar observaciones con intervalos de confianza y, por lo tanto, se puede mejorar su control de calidad operativa. Un aumento repentino de la incertidumbre en la predicción de observaciones indicaría que faltan observaciones importantes (problema de observabilidad) o que se está produciendo un cambio meteorológico impredecible (problema de controlabilidad). La teledetección y las imágenes de satélites se basan en parte en información prevista. Controlar la estabilidad de la retroalimentación entre estos pronósticos y las imágenes de satélite requiere una técnica de fusión de sensores que sea rápida y robusta, que cumple la FKF.
La ventaja computacional de FKF es marginal para aplicaciones que usan solo pequeñas cantidades de datos en tiempo real. Por lo tanto, las infraestructuras de comunicación de datos y calibración integradas mejoradas deben desarrollarse primero y presentarse al uso público antes de que los dispositivos personales y los dispositivos de máquina a máquina puedan sacar el máximo provecho de FKF.
Referencias
- ^ Realización de ajustes combinados [Documentación del software GPScom] (informe técnico). División de Investigación en Geociencias de NOAA.
- ^ Kalman, Rudolf (1960). "Un nuevo enfoque de los problemas de filtración y de predicción lineal". Revista de Ingeniería Básica . 82 (1): 34–45. doi : 10.1115 / 1.3662552 .
- ^ Lange, Antti (2008). "Calibración estadística de sistemas de observación" (PDF) . Contribuciones del Instituto Meteorológico de Finlandia . 22 : 34–45.
- ^ Jacobsson, B; Nylund, M; Olssoon, T; Vandermarcq, O; Vinterhav, E (2001). Star Tracker / Gyro Calibration and Attitude Reconstruction for the Scientific Satellite Odin - In Flight Results (PDF) (Report) (PDF) . Comprobar
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valor ( ayuda ) - ^ Lange, Antti (2008). "Calibración estadística de sistemas de observación" (PDF) . Contribuciones del Instituto Meteorológico de Finlandia . 22 : 12-13.
- ^ Brockman, Elmar (1997). "Combinación de Soluciones para Aplicaciones Geodésicas y Geodinámicas del Sistema de Posicionamiento Global (GPS)" (PDF) . Geodaetisch-geophysikalische Arbeiten in der Schweiz (en alemán suizo). 55 .
- ^ a b Extraño, Gilbert; Borre, Borre (1997). Álgebra lineal, geodesia y GPS . Prensa de Wellesley-Cambridge. págs. 507–508. ISBN 978-0961408862.
- ^ Lange, Antti (2001). "Calibración estadística simultánea de las medidas de retardo de la señal GPS con datos meteorológicos relacionados". Física y Química de la Tierra, Parte A: Tierra sólida y Geodesia . Ámsterdam: Elsevier Science. 26 (6–8): 471–473. doi : 10.1016 / S1464-1895 (01) 00086-2 . ISSN 1464-1895 .
- ^ Lange, Antti (9 de octubre de 2015). Uso del bloqueo Helmert-Wolf para el diagnóstico y tratamiento de errores GNSS (PDF) (Informe). Burdeos: 22º Congreso Mundial ITS. Documento técnico ITS-1636.
- ^ Lange, Antti (15 de octubre de 2003). Filtrado de Kalman óptimo para un seguimiento ultrafiable (PDF) . Teledetección atmosférica mediante sistemas de navegación por satélite. Matera, Italia.
- ^ Lange, Antti (1988). Andrez J. Osiadacz (ed.). Un filtro de paso alto para la calibración óptima de sistemas de observación con aplicaciones (PDF) . Simulación y Optimización de Grandes Sistemas. Oxford: Oxford University Press / Clarendon Press. págs. 311–327.
enlaces externos
- BBD - software
- FKF - fórmulas
- HWB - fórmulas
- La matriz de covarianza de errores de FKF - fórmulas
- Hay otros algoritmos Fast Kalman diseñados para propósitos especiales de procesamiento de señales, consulte, por ejemplo, Estabilización de los algoritmos Fast Kalman en IEEE Xplore.
- Recetas de filtros de Kalman para el procesamiento de imágenes en tiempo real