En matemáticas , el teorema de Fatou-Lebesgue establece una cadena de desigualdades relacionando las integrales (en el sentido de Lebesgue ) del límite inferior y el límite superior de una secuencia de funciones con el límite inferior y el límite superior de integrales de estas funciones. El teorema lleva el nombre de Pierre Fatou y Henri Léon Lebesgue .
Si la secuencia de funciones converge puntualmente , las desigualdades se convierten en igualdades y el teorema se reduce al teorema de convergencia dominado por Lebesgue .
Declaración del teorema
Deje f 1 , f 2 , ... denota una secuencia de reales -valued medibles funciones definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable de Lebesgue g en S que domina la secuencia en valor absoluto, lo que significa que | f n | ≤ g para todos los números naturales n , entonces todos los f n , así como el límite inferior y el límite superior del f n son integrables y
Aquí el límite inferior y el límite superior de la f n se toman puntualmente. La integral del valor absoluto de estas funciones limitantes está acotada arriba por la integral de g .
Dado que la desigualdad media (para secuencias de números reales) siempre es cierta, las direcciones de las otras desigualdades son fáciles de recordar.
Prueba
Todo f n , así como el límite inferior y el límite superior de f n, son medibles y están dominados en valor absoluto por g , por lo tanto integrables.
La primera desigualdad sigue aplicando el lema de Fatou a las funciones no negativas f n + gy usando la linealidad de la integral de Lebesgue . La última desigualdad es el lema de Fatou inverso .
Dado que g también domina el límite superior de la | f n |,
por la monotonicidad de la integral de Lebesgue . Las mismas estimaciones son válidas para el límite superior de f n .
Referencias
- Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl , Universidad de Viena.