En lo que sigue, denota el -algebra de Borel se pone en.
Teorema : lema de Fatou. Dado un espacio de medida y un set dejar ser una secuencia de -funciones no negativas medibles . Definir la función configurando para cada .
Luego es -medible, y también , donde las integrales pueden ser infinitas .
El lema de Fatou sigue siendo cierto si sus supuestos se mantienen -Casi en cualquier parte. En otras palabras, basta con que haya un conjunto nulo tal que la secuencia no disminuciones para cada Para ver esto, tenga en cuenta que las integrales que aparecen en el lema de Fatou no cambian si cambiamos cada función en.
Prueba
El lema de Fatou no requiere el teorema de convergencia monótono , pero este último puede usarse para proporcionar una demostración rápida. Más adelante se proporciona una prueba directamente de las definiciones de integrales.
En cada caso, la demostración comienza analizando las propiedades de . Estos satisfacen:
- la secuencia se puntual no decreciente en cualquier x y
- , .
Desde , vemos inmediatamente que f es medible.
A través del teorema de convergencia monótona
Es más,
Por el teorema de convergencia monótona y la propiedad (1), el límite y la integral pueden intercambiarse:
donde el último paso utilizó la propiedad (2).
De "primeros principios"
Para demostrar que el teorema de convergencia monótono no está "oculto", la siguiente demostración no usa ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí.
Denotamos por el conjunto de simple -funciones medibles tal que en .
Monotonicidad -
- Si en todas partes luego
- Si y luego
- Si f no es negativo y, dónde es una cadena no decreciente de -conjuntos medibles, luego
Prueba -
1. Desde tenemos
Por definición de integral de Lebesgue y las propiedades de supremum,
2. Deje ser la función indicadora del conjunto Se puede deducir de la definición de integral de Lebesgue que
si nos damos cuenta de que, por cada fuera de Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad implica
3. En primer lugar, observe que la afirmación es válida si f es la función indicadora de un conjunto, por monotonicidad de las medidas . Por linealidad, esto también implica inmediatamente la reivindicación de funciones simples.
Dado que cualquier función simple compatible con S n es simple y compatible con X , debemos tener
- .
Para lo contrario, suponga g ∈ SF ( f ) con Por lo anterior,
Ahora pasamos al teorema principal
Prueba -
Recuerdan los intervalos cerrados generan el Borel σ - álgebra . Por tanto, basta con mostrar, para cada, que . Ahora observa que
Cada conjunto en el lado derecho es de , que está cerrado bajo intersecciones contables. Así, el lado izquierdo también es miembro de.
Del mismo modo, basta con verificar que , para cada . Dado que la secuencia puntuales no disminuciones,
- .
Paso 2 : dada una función simple y un numero real , definir
Luego , , y .
Prueba -
Paso 2a. Para probar la primera afirmación, escriba s como una suma ponderada de funciones indicadoras de conjuntos disjuntos :
- .
Luego
- .
Desde la preimagen del conjunto Borel bajo la función medible es medible, y -Las álgebras se cierran bajo intersección finita y uniones, sigue el primer reclamo.
Paso 2b. Para probar la segunda afirmación, tenga en cuenta que, para cada y cada ,
Paso 2c. Para probar la tercera afirmación, suponga que existe contradicción.
Luego , para cada . Tomando el límite como,
Esto contradice nuestra suposición inicial de que .
Paso 3 - Desde el paso 2 y la monotonicidad,
Paso 4 : para cada,
- .
Prueba -
De hecho, usando la definición de , la no negatividad de , y la monotonicidad de la integral de Lebesgue, tenemos
- .
De acuerdo con el Paso 4, como la desigualdad se vuelve
- .
Tomando el límite como rendimientos
- ,
según sea necesario.
Paso 5 - Para completar la demostración, aplicamos la definición de integral de Lebesgue a la desigualdad establecida en el Paso 4 y tenemos en cuenta que:
La prueba está completa.
Una suposición adecuada en relación con las partes negativas de la secuencia f 1 , f 2 ,. . . de funciones es necesaria para el lema de Fatou, como muestra el siguiente ejemplo. Sea S la mitad de la línea [0, ∞) con la σ-álgebra de Borel y la medida de Lebesgue. Para cada número natural n defina
Esta secuencia converge uniformemente en S a la función cero y el límite, 0, se alcanza en un número finito de pasos: para cada x ≥ 0, si n > x , entonces f n ( x ) = 0. Sin embargo, cada función f n tiene integral −1. Al contrario del lema de Fatou, este valor es estrictamente menor que la integral del límite (0).
Como se analiza en § Extensiones y variaciones del lema de Fatou a continuación, el problema es que no hay un límite integrable uniforme en la secuencia desde abajo, mientras que 0 es el límite uniforme desde arriba.
Deje f 1 , f 2 ,. . . ser una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable no negativa g en S tal que f n ≤ g para todo n , entonces
Nota: Aquí g integrable significa que g es medible y que.
Boceto de prueba
Aplicamos la linealidad de la integral de Lebesgue y el lema de Fatou a la secuencia Desde esta secuencia está definida -casi en todas partes y no negativo.
Límite inferior integrable
Deje f 1 , f 2 ,. . . ser una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable g en S tal que f n ≥ - g para todo n , entonces
Prueba
Aplicar el lema de Fatou a la secuencia no negativa dada por f n + g .
Convergencia puntual
Si en la configuración anterior la secuencia f 1 , f 2 ,. . . converge puntualmente a una función f μ - casi en todas partes en S , entonces
Prueba
Nótese que f tiene que coincidir con el límite inferior de las funciones f n casi en todas partes, y que los valores del integrando en un conjunto de medida cero no influyen en el valor de la integral.
Convergencia en medida
La última afirmación también lleva a cabo, si la secuencia f 1 , f 2 ,. . . converge en medida a una función f .
Prueba
Existe una subsecuencia tal que
Dado que esta subsecuencia también converge en la medida af , existe una subsecuencia adicional, que converge puntualmente af casi en todas partes, por lo que la variación anterior del lema de Fatou es aplicable a esta subsubsecuencia.
El lema de Fatou con diferentes medidas
En todas las declaraciones anteriores del Lema de Fatou, la integración se llevó a cabo con respecto a una sola medida fija μ. Suponga que μ n es una secuencia de medidas en el espacio medible ( S , Σ ) tal que (ver Convergencia de medidas )
Entonces, con f n funciones integrables no negativas yf siendo su límite puntual inferior, tenemos
Prueba |
---|
Probaremos algo un poco más fuerte aquí. Es decir, permitiremos que f n converja μ- casi en todas partes en un subconjunto E de S. Buscamos mostrar que
Dejar - .
Entonces μ (EK) = 0 y
Por lo tanto, reemplazando E por EK podemos suponer que f n convergen af puntualmente en E. A continuación, observe que para cualquier función simple φ tenemos
Por lo tanto, según la definición de la integral de Lebesgue, es suficiente mostrar que si φ es cualquier función simple no negativa menor o igual que f, entonces
Sea a el valor no negativo mínimo de φ. Definir
Primero consideramos el caso cuando . Debemos tener que μ (A) es infinito ya que
donde M es el valor máximo (necesariamente finito) de que φ alcanza. A continuación, definimos
Tenemos eso
Pero A n es una secuencia creciente anidada de funciones y, por lo tanto, por la continuidad desde debajo de μ , - .
Por lo tanto, - .
Al mismo tiempo,
probando el reclamo en este caso. El caso restante es cuando . Debemos tener que μ (A) es finito. Denote, como antes, por M el valor máximo de φ y fije ε> 0. Definir
Entonces A n es una secuencia creciente anidada de conjuntos cuya unión contiene A. Por lo tanto, AA n es una secuencia decreciente de conjuntos con intersección vacía. Dado que A tiene una medida finita (es por eso que necesitamos considerar los dos casos separados),
Por tanto, existe n tal que
Por tanto, dado que
existe N tal que
Por lo tanto, para
Al mismo tiempo,
Por eso,
La combinación de estas desigualdades da que
Por lo tanto, enviando ε a 0 y tomando el liminf en n, obtenemos que
completando la prueba. |
En teoría de la probabilidad , por un cambio de la notación, las versiones anteriores de lema de Fatou son aplicables a las secuencias de variables aleatorias X 1 , X 2 ,. . . definido en un espacio de probabilidad ; las integrales se convierten en expectativas . Además, también hay una versión para expectativas condicionales .
Versión estándar
Dejar que X 1 , X 2 ,. . . ser una secuencia de variables aleatorias no negativas en un espacio de probabilidad y deja ser un sub -σ-álgebra . Luego
- casi seguro .
Nota: La expectativa condicional para las variables aleatorias no negativas siempre está bien definida, no se necesita una expectativa finita.
Prueba
Además de un cambio de notación, la demostración es muy similar a la de la versión estándar del lema de Fatou anterior, sin embargo, se debe aplicar el teorema de convergencia monótona para las expectativas condicionales .
Sea X el límite inferior de X n . Para cada número natural k defina puntualmente la variable aleatoria
A continuación, la secuencia Y 1 , Y 2 ,. . . está aumentando y converge puntualmente a X . Para k ≤ n , tenemos Y k ≤ X n , de modo que
- casi seguro
por la monotonicidad de la expectativa condicional , por lo tanto
- casi seguro,
porque la unión contable de los conjuntos excepcionales de probabilidad cero es de nuevo un conjunto nulo . Usando la definición de X , su representación como límite puntual de Y k , el teorema de convergencia monótona para expectativas condicionales, la última desigualdad y la definición del límite inferior, se deduce que casi con seguridad
Extensión a partes negativas uniformemente integrables
Dejar que X 1 , X 2 ,. . . ser una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad y deja ser un sub -σ-álgebra . Si las partes negativas
son uniformemente integrables con respecto a la expectativa condicional, en el sentido de que, para ε > 0 existe una c > 0 tal que
- ,
luego
- casi seguro.
Nota: En el set donde
satisface
el lado izquierdo de la desigualdad se considera más infinito. La expectativa condicional del límite inferior podría no estar bien definida en este conjunto, porque la expectativa condicional de la parte negativa también podría ser más infinito.
Prueba
Sea ε > 0. Debido a la integrabilidad uniforme con respecto a la expectativa condicional, existe una c > 0 tal que
Desde
donde x + : = max { x , 0} denota la parte positiva de una x real , la monotonicidad de la expectativa condicional (o la convención anterior) y la versión estándar del lema de Fatou para las expectativas condicionales implican
- casi seguro.
Desde
tenemos
- casi seguro,
por eso
- casi seguro.
Esto implica la afirmación.