La linealización de retroalimentación es un enfoque común utilizado para controlar sistemas no lineales . El enfoque implica proponer una transformación del sistema no lineal en un sistema lineal equivalente mediante un cambio de variables y una entrada de control adecuada. La linealización por retroalimentación se puede aplicar a sistemas no lineales de la forma
dónde es el vector de estado, es el vector de entradas, y es el vector de salidas. El objetivo es desarrollar una entrada de control
que muestra un mapa de entrada-salida lineal entre la nueva entrada y la salida. Entonces se puede aplicar una estrategia de control de bucle externo para el sistema de control lineal resultante.
Linealización de retroalimentación de sistemas SISO
Aquí, considere el caso de la linealización de retroalimentación de un sistema de entrada única y salida única (SISO). Se pueden extender resultados similares a sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). En este caso, y . El objetivo es encontrar una transformación de coordenadasque transforma el sistema (1) en la llamada forma normal que revelará una ley de retroalimentación de la forma
que generará un mapa de entrada-salida lineal a partir de la nueva entrada a la salida . Para asegurar que el sistema transformado es una representación equivalente del sistema original, la transformación debe ser un difeomorfismo . Es decir, la transformación no solo debe ser invertible (es decir, biyectiva), sino que tanto la transformación como su inversa deben ser suaves para que la diferenciabilidad en el sistema de coordenadas original se conserve en el nuevo sistema de coordenadas. En la práctica, la transformación solo puede ser localmente difeomórfica y los resultados de la linealización solo se mantienen en esta región más pequeña.
Se requieren varias herramientas para resolver este problema.
Derivada de la mentira
El objetivo de la linealización por retroalimentación es producir un sistema transformado cuyos estados son la salida y su primera derivados. Para comprender la estructura de este sistema objetivo, usamos la derivada de Lie . Considere la derivada en el tiempo de (2), que se puede calcular usando la regla de la cadena ,
Ahora podemos definir la derivada de Lie de a lo largo de como,
y de manera similar, la derivada de Lie de a lo largo de como,
Con esta nueva notación, podemos expresar como,
Tenga en cuenta que la notación de derivadas de Lie es conveniente cuando tomamos múltiples derivadas con respecto al mismo campo vectorial o a uno diferente. Por ejemplo,
y
Grado relativo
En nuestro sistema linealizado de retroalimentación compuesto por un vector de estado de la salida y su primera derivadas, debemos entender cómo la entrada entra en el sistema. Para ello, introducimos la noción de grado relativo. Nuestro sistema dado por (1) y (2) se dice que tiene un grado relativo en un punto Si,
- en un barrio de y todo
Considerando esta definición de grado relativo a la luz de la expresión de la derivada temporal de la salida , podemos considerar el grado relativo de nuestro sistema (1) y (2) como el número de veces que tenemos que diferenciar la salida antes de la entrada aparece explícitamente. En un sistema LTI , el grado relativo es la diferencia entre el grado del polinomio denominador de la función de transferencia (es decir, el número de polos ) y el grado de su polinomio numerador (es decir, el número de ceros ).
Linealización por retroalimentación
Para la discusión que sigue, asumiremos que el grado relativo del sistema es . En este caso, después de diferenciar la salida tiempos que tenemos,
donde la notación indica el th derivada de . Porque asumimos que el grado relativo del sistema es, las derivadas de Lie de la forma por son todos cero. Es decir, la entrada no tiene una contribución directa a ninguno de los primeros th derivados.
La transformación de coordenadas que pone al sistema en forma normal proviene de la primera derivados. En particular,
transforma las trayectorias del original sistema de coordenadas en el nuevo sistema coordinado. Siempre que esta transformación sea un difeomorfismo , las trayectorias suaves en el sistema de coordenadas original tendrán contrapartes únicas en elsistema de coordenadas que también son suaves. Esos las trayectorias serán descritas por el nuevo sistema,
Por lo tanto, la ley de control de retroalimentación
renderiza un mapa de entrada-salida lineal de a . El sistema linealizado resultante
es una cascada de integradores y un control de bucle externo puede elegirse utilizando la metodología de sistema lineal estándar. En particular, una ley de control de retroalimentación estatal de
donde el vector del estado es la salida y su primera derivados, resultados en el sistema LTI
con,
Entonces, con la elección adecuada de , podemos colocar arbitrariamente los polos en lazo cerrado del sistema linealizado.
Dinámica cero inestable
La linealización de retroalimentación se puede lograr con sistemas que tienen un grado relativo menor que . Sin embargo, la forma normal del sistema incluirá dinámica cero (es decir, estados que no son observables a partir de la salida del sistema) que pueden ser inestables. En la práctica, la dinámica inestable puede tener efectos nocivos en el sistema (por ejemplo, puede ser peligroso que los estados internos del sistema crezcan sin límites). Estos estados no observables pueden ser controlables o al menos estables, por lo que se pueden tomar medidas para garantizar que estos estados no causen problemas en la práctica. Los sistemas de fase mínima proporcionan información sobre la dinámica cero.
Ver también
Otras lecturas
- A. Isidori, Nonlinear Control Systems, tercera edición, Springer Verlag, Londres, 1995.
- HK Khalil, Nonlinear Systems, tercera edición, Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey, 2002.
- M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, segunda edición, Prentice Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1993.
- B. Friedland, Advanced Control System Design Facsimile edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey, 1996.
enlaces externos
- ECE 758: Modelado y control no lineal de un manipulador de articulaciones flexibles de un solo enlace : ofrece una explicación y una aplicación de la linealización por retroalimentación.
- ECE 758: Ejemplo de linealización de bola en tubo - Aplicación trivial de linealización para un sistema que ya está en forma normal (es decir, no es necesaria una transformación de coordenadas).
- Wolfram Language funciona para hacer linealización de retroalimentación , calcular órdenes relativos y determinar dinámica cero .