La teoría de control no lineal es el área de la teoría de control que se ocupa de sistemas que son no lineales , variantes en el tiempo o ambos. Teoría de control es una rama interdisciplinaria de la ingeniería y las matemáticas que se ocupa con el comportamiento de los sistemas dinámicos con entradas, y cómo modificar la salida por los cambios en la entrada utilizando la retroalimentación , de alimentación directa , o filtrado de la señal . El sistema que se va a controlar se denomina " planta ". Una forma de hacer que la salida de un sistema siga una señal de referencia deseada es comparar la salida de la planta con la salida deseada y proporcionar retroalimentación. a la planta para modificar la salida para acercarla a la salida deseada.
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La teoría del control se divide en dos ramas. La teoría del control lineal se aplica a sistemas hechos de dispositivos que obedecen al principio de superposición . Se rigen por ecuaciones diferenciales lineales . Una subclase importante son los sistemas que además tienen parámetros que no cambian con el tiempo, llamados sistemas invariantes en el tiempo lineal (LTI). Estos sistemas pueden ser resueltos por poderosos dominio de la frecuencia técnicas matemáticas de gran generalidad, como la transformada de Laplace , transformada de Fourier , transformada Z , diagrama de Bode , lugar de las raíces , y la estabilidad de Nyquist criterio .
La teoría del control no lineal cubre una clase más amplia de sistemas que no obedecen al principio de superposición. Se aplica a más sistemas del mundo real, porque todos los sistemas de control reales no son lineales. Estos sistemas a menudo se rigen por ecuaciones diferenciales no lineales . Las técnicas matemáticas que se han desarrollado para manejarlos son más rigurosas y mucho menos generales, y a menudo se aplican solo a categorías limitadas de sistemas. Estos incluyen la teoría del ciclo límite , los mapas de Poincaré , la teoría de la estabilidad de Lyapunov y la descripción de funciones . Si solo son de interés las soluciones cercanas a un punto estable, los sistemas no lineales a menudo se pueden linealizar aproximándolos mediante un sistema lineal obtenido al expandir la solución no lineal en una serie , y luego se pueden usar técnicas lineales. [1] Los sistemas no lineales a menudo se analizan utilizando métodos numéricos en computadoras , por ejemplo, simulando su funcionamiento utilizando un lenguaje de simulación . Incluso si la planta es lineal, un controlador no lineal a menudo puede tener características atractivas, como implementación más simple, velocidad más rápida, más precisión o energía de control reducida, que justifican el procedimiento de diseño más difícil.
Un ejemplo de un sistema de control no lineal es un sistema de calefacción controlado por termostato . Un sistema de calefacción de un edificio, como un horno, tiene una respuesta no lineal a los cambios de temperatura; está "encendido" o "apagado", no tiene el control fino en respuesta a las diferencias de temperatura que tendría un dispositivo proporcional (lineal). Por lo tanto, el horno está apagado hasta que la temperatura desciende por debajo del punto de ajuste de "encendido" del termostato, cuando se enciende. Debido al calor agregado por el horno, la temperatura aumenta hasta que alcanza el punto de ajuste de "apagado" del termostato, que apaga el horno y el ciclo se repite. Este ciclo de la temperatura alrededor de la temperatura deseada se denomina ciclo límite y es característico de los sistemas de control no lineales.
Propiedades de los sistemas no lineales
Algunas propiedades de los sistemas dinámicos no lineales son
- No siguen el principio de superposición (linealidad y homogeneidad).
- Pueden tener múltiples puntos de equilibrio aislados.
- Pueden exhibir propiedades como ciclo límite , bifurcación , caos .
- Tiempo de escape finito: Es posible que las soluciones de sistemas no lineales no existan para todos los tiempos.
Análisis y control de sistemas no lineales
Existen varias técnicas bien desarrolladas para analizar sistemas de retroalimentación no lineal:
- Descripción del método de función
- Método del plano de fase
- Análisis de estabilidad de Lyapunov
- Método de perturbación singular
- El criterio de Popov y el criterio del círculo para la estabilidad absoluta
- Teorema de la variedad central
- Teorema de pequeña ganancia
- Análisis de pasividad
También existen técnicas de diseño de control para sistemas no lineales. Estos se pueden subdividir en técnicas que intentan tratar el sistema como un sistema lineal en un rango limitado de operación y utilizan técnicas de diseño lineal (bien conocidas) para cada región:
- Obtener programación
Aquellos que intentan introducir retroalimentación auxiliar no lineal de tal manera que el sistema pueda ser tratado como lineal para propósitos de diseño de control:
- Linealización de retroalimentación
Y métodos basados en Lyapunov :
- Rediseño de Lyapunov
- Función Control-Lyapunov
- Amortiguación no lineal
- Retroceso
- Control de modo deslizante
Análisis de retroalimentación no lineal: el problema de Lur'e
AI Lur'e formuló uno de los primeros problemas de análisis del sistema de retroalimentación no lineal . Los sistemas de control descritos por el problema de Lur'e tienen una ruta de avance que es lineal e invariante en el tiempo, y una ruta de retroalimentación que contiene una no linealidad estática sin memoria, posiblemente variable en el tiempo.
La parte lineal se puede caracterizar por cuatro matrices ( A , B , C , D ), mientras que la parte no lineal es Φ ( y ) con (una no linealidad del sector).
Problema de estabilidad absoluta
Considerar:
- ( A , B ) es controlable y ( C , A ) es observable
- dos números reales a , b con a < b , que definen un sector para la función Φ
El problema de Lur'e (también conocido como el problema de estabilidad absoluta) es derivar condiciones que involucren solo la matriz de transferencia H ( s ) y { a , b } tales que x = 0 es un equilibrio globalmente uniformemente asintóticamente estable del sistema.
Hay dos conjeturas erróneas bien conocidas sobre el problema de la estabilidad absoluta:
- La conjetura de Aizerman
- La conjetura de Kalman .
Gráficamente, estas conjeturas se pueden interpretar en términos de restricciones gráficas en la gráfica de Φ ( y ) x y o también en la gráfica de d Φ / dy x Φ / y . [2] Hay contraejemplos de las conjeturas de Aizerman y Kalman de que la no linealidad pertenece al sector de la estabilidad lineal y el equilibrio estable único coexiste con una solución periódica estable: oscilación oculta .
Hay dos teoremas principales relacionados con el problema de Lur'e que dan condiciones suficientes para la estabilidad absoluta:
- El criterio del círculo (una extensión del criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas lineales)
- El criterio de Popov .
Resultados teóricos en control no lineal
Teorema de Frobenius
El teorema de Frobenius es un resultado profundo en geometría diferencial. Cuando se aplica al control no lineal, dice lo siguiente: Dado un sistema de la forma
dónde , son campos vectoriales que pertenecen a una distribución y son funciones de control, las curvas integrales de están restringidos a una variedad de dimensiones Si y es una distribución involutiva .
Ver también
- Pasivación de retroalimentación
- Bucle de fase bloqueada
- Pequeña propiedad de control
Referencias
- ^ punto de corte
- ↑ Naderi, T .; Materassi, D .; Innocenti, G .; Genesio, R. (2019). "Revisando las conjeturas de Kalman y Aizerman a través de una interpretación gráfica". Transacciones IEEE sobre control automático . 64 (2): 670–682. doi : 10.1109 / TAC.2018.2849597 . ISSN 0018-9286 .
Otras lecturas
- Lur'e, AI; Postnikov, VN (1944). "К теории устойчивости регулируемых систем" [Sobre la teoría de la estabilidad de los sistemas de control]. Prikladnaya Matematika I Mekhanika (en ruso). 8 (3): 246–248.
- Vidyasagar, M. (1993). Análisis de sistemas no lineales (2ª ed.). Acantilados de Englewood: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-623463-0.
- Isidori, A. (1995). Sistemas de control no lineal (3ª ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-19916-8.
- Khalil, HK (2002). Sistemas no lineales (3ª ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
- Brogliato, B .; Lozano, R .; Maschke, B .; Egeland, O. (2007). Análisis y control de sistemas disipativos (2ª ed.). Londres: Springer.
- Leonov GA; Kuznetsov NV (2011). "Algoritmos para la búsqueda de oscilaciones ocultas en los problemas de Aizerman y Kalman" (PDF) . Matemáticas Doklady . 84 (1): 475–481. doi : 10.1134 / S1064562411040120 .
- Bragin VO; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV; Leonov GA (2011). "Algoritmos para encontrar oscilaciones ocultas en sistemas no lineales. Las conjeturas de Aizerman y Kalman y circuitos de Chua" (PDF) . Revista Internacional de Ciencias de la Computación y Sistemas . 50 (5): 511–543. doi : 10.1134 / S106423071104006X .
- Leonov GA, Kuznetsov NV (2011). Sergio, Bittanti (ed.). "Métodos analítico-numéricos para la investigación de oscilaciones ocultas en sistemas de control no lineales" (PDF) . Volúmenes de actas de la IFAC (IFAC-PapersOnline) . Actas del 18º Congreso Mundial de IFAC. 18 (1): 2494–2505. doi : 10.3182 / 20110828-6-IT-1002.03315 . ISBN 9783902661937.
enlaces externos
- Funciones de Wolfram Language para sistemas de control no lineales