conjugado convexo

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En matemáticas y optimización matemática , el conjugado convexo de una función es una generalización de la transformación de Legendre que se aplica a funciones no convexas. También se conoce como transformación de Legendre-Fenchel , transformación de Fenchel o conjugado de Fenchel (después de Adrien-Marie Legendre y Werner Fenchel ). Permite, en particular, una generalización de largo alcance de la dualidad lagrangiana.

Sea un espacio vectorial topológico real y sea el espacio dual to . Denotamos por ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización X ^ {*}}$${\ estilo de visualización X}$

el emparejamiento dual canónico , que se define por${\displaystyle \left(x^{*},x\right)\mapsto x^{*}(x).}$

Para una función que toma valores en la recta numérica real extendida , su conjugado convexo es la función${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$

cuyo valor en se define como el supremo :${\ estilo de visualización x ^ {*} \ en X ^ {*}}$

Esta definición puede interpretarse como una codificación del casco convexo del epígrafe de la función en términos de sus hiperplanos de apoyo . ^[1]

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